Final (topología)

En topología, una branca de les matemàtiques, el final (o també extrem) d'un espai topològic és, en térmens generals, el conjunt format pels components conectats del llímit ideal de l'espai. És dir, cada extrem representa una forma topológicamente distinta de moure's cap al infinit dins de l'espai. En agregar un punt en cada extrem s'obté una compactación de l'espai original, coneguda com a compactación final o compactación extremal.

Hans Freudenthal, (1931) va introduir la noció de final d'un espai topològic.

Definició

Siga X un espai topològic i suponga's que

$K_1\subseteq K_2\subseteq K_3\subseteq \cdots$

és una seqüència ascendent de subespacios compactes de X que els seus interiors recobrixen X. Llavors, X té un final per a cada seqüència

$U_1\supseteq U_2\supseteq U_3\supseteq \cdots ,$

a on cada O_n és un component conexo de X  K_n. El número d'extrems no depén de la seqüència específica {K_i} de conjunts compactes, perque existix una funció biyectiva natural entre els conjunts d'extrems associats en dos de dites seqüències.

Usant esta definició, un entorn d'un extrem {O_i} és un conjunt obert V tal que V ⊇ O_n per a alguns n, que representen els veïnats del punt corresponent en l'infinit en la compactación final (esta compactación no sempre és compacta; per a això, l'espai topològic X té que ser conexo i l'espai localment conexo).

La definició d'extrems donada anteriorment s'aplica solament als espais X que posseïxen una exhaustación per conjunts compactes (és dir, X deu ser hemicompacto). No obstant, es pot generalisar de la següent manera: siga X qualsevol espai topològic i considere's el sistema directe {K} de subconjunts compactes de X i una aplicació inclusiva. Existix un llímit invers corresponent { Π₀( X  K ) }, a on Π₀(I) denota el conjunt de components conectats d'un espai I, i cada aplicació d'inclusió I → Z induïx una funció Π₀(I) → Π₀(Z). Llavors el conjunt d'extrems de X es definix com el llímit invers d'este sistema invers.

Segons esta definició, el conjunt d'extrems és un funtor des de la categoria d'espais topològics, a on els morfismos són solament aplicacions contínues pròpies fins a la categoria de conjunts. Explícitament, si φ : X → I és una aplicació pròpia i x = (x_K)_K és un final de X (és dir, cada element x_K en la família és un component conectat de X ∖ K i són compatibles en aplicacions induïdes per inclusions) llavors φ(x) és la família ${\phi }_{*}(x_{{\phi }^{-1}(K^{\prime })})$ a on $K^{\prime }$ comprén subconjunts compactes de I i φ_* és l'aplicació induïda per φ de ${\pi }_0(X\setminus {\phi }^{-1}(K^{\prime }))$ a ${\pi }_0(Y\setminus K^{\prime })$. La propietat de φ s'utilisa per a garantisar que cada φ⁻¹(K) siga compacte en X.

La definició original anterior representa el cas especial en el que el sistema directe de subconjunts compactes té una seqüència cofinal.

Eixemples

• El conjunt d'extrems de qualsevol espai compacte és el conjunt buit.
• La recta real $ℝ$ té dos extrems. Per eixemple, si es considera que K_n siga l'interval [−n, n], llavors els dos extrems són les seqüències de conjunts oberts O_n  = (n, ∞) i V_n = (−∞, −n). Estos extrems solen denominar-se infinit i menys infinit, respectivament.
• Si n > 1, llavors l'espai euclídeo ${ℝ}^n$ té un sol extrem. Açò es deu a que ${ℝ}^n\setminus K$ té solament un component illimitat per a qualsevol conjunt compacte K.

• De manera més general, si M és una varietat compacta, llavors el número d'extrems de l'interior de M és igual al número de components conectats del llímit de M.
• L'unió de n ràdios distints que emanen de l'orige en ${ℝ}^2$ té n extrems.
• l'arbre binario complet infinit té innumerables extrems, corresponents a innumerables camins descendents diferents que comencen en la raïl (açò es pot vore deixant que K_n siga l'arbre binario complet de profunditat n). Estos extrems poden considerar-se com els fulls de l'arbre infinit. En la compactación final, el conjunt d'extrems té la topología d'un conjunt de Cantor.

Referències

• .
• (1931).«Über die Enden topologischer Räume und Gruppen».Mathematische Zeitschrift.Springer Berlin / Heidelberg.33

692–713.ISSN 0025-5874.doi:10.1007/BF01174375.

• Ross Geoghegan, Métodos topològics en teoria de grups, GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1.
• (1979) «Topological methods in group theory», Homological Group Theory, pp. 137–204. doi:10.1017/CBO9781107325449.007. ISBN 9781107325449.