Fluix de massa

En física i ingenieria, el fluix de massa és una magnitut mecànica que permet caracterisar el moviment d'una substància. Les seues unitats en el Sistema Internacional són (kg m⁻² s⁻¹). Símbols comuns per a representar-ho són j, J, q, Q, φ o Φ (la lletra grega Φ en mayúscula o en minúscula), a voltes en el subíndex m per a indicar que la massa és la magnitut que fluïx. El fluix de massa també pot referir-se a una forma alternativa de fluix en les lleis de Fick (que ampren el concepte de massa molecular), o en la llei de Darcy (a on s'usa la densitat).^[1]

A voltes, l'equació que definix el fluix de massa en este artícul s'usa indistintament en l'equació que definix el cabal másico. Per eixemple, en el text Mecànica de decorreguts, Schaum's et al^[2] s'utilisa la definició de fluix másico com a equació en l'artícul sobre el cabal másico.

Definició

Matemàticament, el fluix de massa es definix com el llímit

j_{m} = \lim_{A \to 0} \frac{I_{m}}{A},

a on

I_{m} = \lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ m}{Δ t} = \frac{d m}{d t}

és la corrent de massa (fluix de massa $m$ per unitat de temps $t$ ) i $A$ és l'àrea per la que fluïx la massa.

Per al fluix de massa com un vector $j m$ , l'integral de superfície del mateix a través d'una secció S, seguit d'una integral durant el temps de $t 1$ a $t 2$ , dona la cantitat total de massa que fluïx a través d'un àrea donada en eixe interval de temps ( $t 2 - t 1$ ):

m = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \iint_{S} 𝐣_{m} \cdot \hat{𝐧} d A d t .

l'àrea requerida per a calcular el fluix és real o imaginària, plana o curva, ya siga com l'àrea d'una secció travessera o com una superfície.

Per eixemple, per a substàncies que passen a través d'un filtre o d'una membrana, la superfície real és l'àrea de la superfície (generalment curvada) del filtre considerada macroscópicamente, ignorant l'àrea compresa pels orificis en el filtre o membrana. Els espais serien àrees de secció travessera. Per a líquits que passen per una canonada, la superfície és l'àrea de la secció travessera considerada de la conducció.

El vector d'àrea és una combinació de la magnitut de l'àrea per la que passa la massa, A, i un vector unitari normal a l'àrea, $\hat{𝐧}$ . La relació és $𝐀 = A \hat{𝐧}$ .

Si el fluix de massa $j m$ pansa a través de l'àrea formant un àngul θ en l'àrea normal a $\hat{𝐧}$ , llavors

𝐣_{m} \cdot \hat{𝐧} = j_{m} \cos θ

a on $\cdot$ és el producte escalar dels vectores unitaris. És dir, la component del fluix de massa que passa a través de la superfície (és dir, normal a ella) és $j m cos θ$ . Si be la component del fluix de massa que passa tangencial a l'àrea ve dau per $j m sense θ$ , en realitat "no" hi ha fluix de massa que passa «a través» de l'àrea en direcció tangencial. La «única» component del fluix de massa que passa normal a l'àrea és la component coseno.

Eixemple

Fluix a través d'una canonada de secció constant

Considere's una canonada que conduïx aigua. Suponga's que té una secció travessera constant, que es tracta d'un tram recte (sense curves ni unions), i que l'aigua fluïx de manera uniforme a una velocitat constant, baix condicions normalisades de pressió i temperatura. L'àrea A és l'àrea de la secció travessera de la canonada. Suponga's ara que la canonada té ràdio $r = 2 cm= 2 \times 10 -2 m$ . L'àrea és llavors

A = π r^{2} .

Per a calcular el fluix de massa $j m$ (magnitut), també es necessita la cantitat de massa d'aigua transferida a través de l'àrea i el temps necessari. Suponga's que passa un volum $V = 1.5 L= 1.5 \times 10 -3 m 3$ en el temps t = 2 s. Suponent que la densitat de l'aigua és $ρ = 1000 kg m -3$ , es té que:

\begin{matrix} Δ m & = ρ Δ V \\ m_{2} - m_{1} & = ρ (V_{2} - V_{1}) \\ m & = ρ V \end{matrix}

(ya que el volum inicial que passa per l'àrea era zero, el final és $V$ , per lo que la massa corresponent és $m$ ), per lo que el fluix de massa és

j_{m} = \frac{Δ m}{A Δ t} = \frac{ρ V}{π r^{2} t} .

Substituint els símbols pels seus valors, s'obté:

j_{m} = \frac{1000 \times (1.5 \times 1 0^{- 3})}{π \times {(2 \times 1 0^{- 2})}^{2} \times 2} = \frac{3}{16 π} \times 1 0^{4},

que és aproximadament 596,8 kg s⁻¹ m⁻².

Equacions per a decorreguts

Equació alternativa

Usant la definició de vector, el fluix de massa també és igual a:^[3]

𝐣_{m} = ρ 𝐮

a on:

$ρ$ = densitat de massa,
$o$ = velocitat de fluix d'elements de massa que fluïxen (és dir, en cada punt de l'espai la velocitat d'un element de matèria és algun vector de velocitat $o$ ).

A voltes, esta equació es pot utilisar per a definir $j m$ com un vector.

Fluix másicos i molar per a decorreguts composts

Fluix de massa

En el cas de que el decorregut no siga pur, és dir, siga una mescla de substàncies (tècnicament es considera que conté vàries substàncies components), els fluix másicos deuen considerar-se per separat per a cada component de la mescla.

En descriure el fluix de decorreguts (és dir, el fluix de matèria), és apropiat parlar de fluix de massa. En descriure el transport de partícules (moviment d'un gran número de partícules), resulta útil utilisar una cantitat anàloga, denominada fluix molar.

Usant la magnitut massa, el fluix de massa del component i és

𝐣_{m, i} = ρ_{i} 𝐮_{i} .

El fluix de massa baricéntrico del component i és

𝐣_{m, i} = ρ (𝐮_{i} - ⟨ 𝐮 ⟩),

a on $⟨ 𝐮 ⟩$ és la velocitat de massa promig de tots els components de la mescla, donada per

⟨ 𝐮 ⟩ = \frac{1}{ρ} \sum_{i} ρ_{i} 𝐮_{i} = \frac{1}{ρ} \sum_{i} 𝐣_{m, i}

a on

$ρ$ = densitat de massa de tota la mescla,
$ρ i$ = densitat de massa del component i,
$o i$ = velocitat del component i.

El promig es pren de les velocitats dels components.

Fluix molar

Si es reemplaça la densitat $ρ$ per la «densitat molar», la concentració $c$ , s'obtenen els anàlecs del fluix molar, que és el número de moles per unitat de temps per unitat d'àrea, que generalment adquirix la forma:

𝐣_{n} = c 𝐮 .

Llavors, el fluix molar del component i és (número de moles per unitat de temps per unitat d'àrea):

𝐣_{n, i} = c_{i} 𝐮_{i}

i el fluix molar baricéntrico del component i és

𝐣_{n, i} = c (𝐮_{i} - ⟨ 𝐮 ⟩),

a on $⟨ 𝐮 ⟩$ esta volta és la promig velocitat molar de tots els components de la mescla, donada per:

⟨ 𝐮 ⟩ = \frac{1}{n} \sum_{i} c_{i} 𝐮_{i} = \frac{1}{c} \sum_{i} 𝐣_{n, i} .

Referències

↑ «Thesaurus: Mass flux». Consultat el 2024-03-05. (Enllaç trencat: març de 2020)
↑ Fluïu Mechanics, M. Potter, D.C. Wiggart, Schuam's outlines, McGraw Hill (USA), 2008, ISBN 978-0-07-148781-8
↑ Vectors, Tensors, and the basic Equations of Fluïu Mechanics, R. Aris, Dover Publications, 1989, ISBN 0-486-66110-5

Este artícul conté una traducció derivada de «Flujo de masa» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] «Thesaurus: Mass flux». Consultat el 2024-03-05. (Enllaç trencat: març de 2020)

[2] Fluïu Mechanics, M. Potter, D.C. Wiggart, Schuam's outlines, McGraw Hill (USA), 2008, ISBN 978-0-07-148781-8

[3] Vectors, Tensors, and the basic Equations of Fluïu Mechanics, R. Aris, Dover Publications, 1989, ISBN 0-486-66110-5

[1]

[2]

[3]