Fluix

Archiu:General flux diagram.svg

Les llínees de camp d'un camp vectorial F a través de superfícies en vector unitari normal n, l'àngul de n sobre F és θ. El fluix és una mida de la cantitat de camp que passa a través d'una superfície determinada. F es descompon en components perpendiculars (⊥) i ( ‖ ) paraleles a n. Solament la component paralela contribuïx al fluix, ya que és l'extensió màxima del camp que passa a través de la superfície en un punt, i la component perpendicular no contribuïx.
Dalt: Tres llínees de camp que passen per una superfície plana, una normal a la superfície, una paralela i una intermija.
Avall: Llínea de camp a través d'una superfície, que mostra la configuració de l'unitat normal i l'element de superfície per a calcular el fluix.

El terme fluix descriu qualsevol efecte que sembla passar o viajar (ya siga que realment es moga o no) a través d'una superfície o substància. És un concepte propi del càlcul vectorial i de la matemàtica aplicada, que apareix en numerosos camps de la física. Para fenomens de transport, el fluix és una cantitat vectorial que descriu la magnitut i la direcció del fluix d'una substància o propietat. En càlcul vectorial el fluix és una cantitat escalar, definida com l'integral de superfície de la component perpendicular d'un camp vectorial sobre una superfície.

Terminologia

La paraula fluix prové del llatí fluxus, que significa "fluix"; i de fluere, en el significat de "fluir". El terme fluxión, va ser introduït en el càlcul diferencial per Isaac Newton.

El concepte de fluix de calor va ser una contribució clau de Joseph Fourier en l'anàlisis dels fenomens de transferència de calor. En el seu tractat fonamental Théorie analytique de la chaleur (La teoria analítica de la calor), definix el fluix com una cantitat central i procedix a derivar les ara ben conegudes expressions de fluix en térmens de diferències de temperatura a través d'una llosa, i després, de manera més general, en térmens de gradient de temperatura o diferencials de temperatura, a través d'atres geometria. Es podria argumentar, basant-se en el treball de James Clerk Maxwell, que la definició de transport precedix a la definició de fluix utilisada en electromagnetisme. La cita específica de Maxwell és: Plantilla:Blockquote

Segons la definició de transport, el fluix pot ser un únic vector o pot ser un camp vectorial/funció de posició. En l'últim cas, el fluix es pot integrar fàcilment sobre una superfície. Pel contrari, segons la definició d'electromagnetisme, el fluix és l'integral sobre una superfície. No té sentit integrar un fluix d'acort en la segona definició, ya que seria integrar dos voltes sobre una superfície. Per lo tant, la cita de Maxwell solament té sentit si s'utilisa la paraula fluix d'acort en la definició de transport (i ademés és un camp vectorial en lloc d'un vector únic). Açò és irònic, perque Maxwell va ser un dels principals desenrolladors dels conceptes que ara es coneixen com a fluix elèctric i fluix magnètic segons la definició de l'electromagnetisme. Els seus noms d'acort en la cita (i la definició de transport) serien integral de superfície de fluix elèctric i integral de superfície de fluix magnètic, en que el seu case fluix elèctric es definiria com a camp elèctric i fluix magnètic es definiria com a camp magnètic. Açò implica que Maxwell va concebre estos camps com a fluix d'algun tipo.

Donat un fluix segons la definició amprada en electromagnetisme, la densitat de fluix corresponent, si s'usa eixe terme, es referix a la seua derivada en la superfície que es va integrar. Segons el teorema fonamental del càlcul, la densitat de fluix corresponent és un fluix segons la definició de transport. Donada una corrent com la corrent elèctrica (càrrega per temps), la densitat de corrent també seria un fluix segons la definició de transport: càrrega per temps per àrea. Per les definicions contradictòries de fluix i a la intercambiabilidad de fluix i corrent en el llenguage no tècnic, tots els térmens utilisats en este paràgraf a voltes s'usen indistinta i ambiguamente. En el restant d'este artícul, la paraula fluix s'utilisarà d'acort en la seua acceptació àmplia en la bibliografia, independentment de quina definició corresponga el terme.

Fluix com a cabal per unitat d'àrea

En fenomens de transport (com la transferència de calor, la transferència de massa i la fluidodinámica), el fluix es definix com la taxa de pas d'una propietat per unitat d'àrea, que té dimensions [cantitat]·[temps]⁻¹·[àrea]⁻¹. L'àrea és la superfície per la que la propietat fluïx a través. Per eixemple, la cantitat d'aigua que fluïx a través d'una secció travessera d'un riu cada segon dividida per l'àrea d'eixa secció travessera, o la cantitat d'energia solar que cau sobre una porció de terreny cada segon dividida per l'àrea de la porció considerada, són tipos de fluix.

Definició matemàtica general (transport)

Archiu:Surface integral - definition.svg

Per a calcular el fluix d'un camp vectorial F (fleches roges) a través d'una superfície S, la superfície es dividix en menuts sectors dS. El fluix a través de cada sector és igual al component normal (perpendicular) del camp, el producte escalar de F(x) en el vector normal unitari n(x) (fleches blaves) en el punt x multiplicat per l'àrea dS. La suma de F · n, dS per a cada sector de la superfície és el fluix a través de la superfície completa

Apareixen tres definicions en orde creixent de complexitat. Cada una és un cas especial dels que figuren a continuació. En tots ells s'utilisa el símbol freqüent j (o J) per al fluix, q per a la magnitut física que fluïx, t per al temps i A para l'àrea. Estos identificadors s'escriuran en negreta quan i solament quan siguen vectores.

Primer, el fluix com un escalar (únic):

$j=\frac{I}{A},$

a on

$I=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.$

En este cas, la superfície en la que es medix el fluix és fixa i té un àrea A. Se supon que la superfície és plana i que el fluix és constant en tots els llocs sobre la posició, i perpendicular a la superfície.

En segon lloc, el fluix com camp escalar definit en una superfície, és dir, una funció de punts en la superfície:

$j(𝐩)=\frac{\partial I}{\partial A}(𝐩),$

$I(A,𝐩)=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}(A,𝐩).$

Com abans, se supon que la superfície és plana i que el fluix és perpendicular a ella en tots els llocs. No obstant, el fluix no té per qué ser constant. q és ara una funció de p, un punt en la superfície, i A, un àrea. En lloc de medir-se el fluix total a través de la superfície, q medix el fluix a través del disc de la superfície en l'àrea A i centrat en el punt p.

Finalment, el fluix com camp vectorial:

$𝐣(𝐩)=\frac{\partial 𝐈}{\partial A}(𝐩),$

$𝐈(A,𝐩)=\underset{\widehat{𝐧}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\widehat{𝐧}}_{𝐩}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}(A,𝐩,\widehat{𝐧}).$

En este cas, no hi ha cap superfície fixa sobre la que s'estiga medint. q és funció d'un punt, un àrea i una direcció (donada per un vector unitari $\widehat{𝐧}$) i medix el fluix a través del disc d'àrea A perpendicular a eixe vector unitari. I es definix elegint el vector unitari que maximizar el fluix al voltant del punt, perque el fluix real s'maximizar a través del disc que és perpendicular a ell. Per lo tant, el vector unitari maximizar de forma única la funció quan apunta en la verdadera direcció del fluix. Estrictament parlant, est és un abús de notació, perque "arg max" no pot comparar vectores directament; en el seu lloc, es pren el vector en la norma més gran.

Propietats

Estes definicions directes, especialment l'última, són prou difícils de manejar. Per eixemple, la construcció arg max és artificial des de la perspectiva de les medicions empíriques, quan en una penell o similar es pot deduir fàcilment la direcció del fluix en un punt. En lloc de definir directament el fluix vectorial, sol ser més intuïtiu enunciar algunes propietats al respecte. Ademés, a partir d'estes propietats es pot determinar de tots modos el fluix de forma inequívoca.

Si el fluix j passa a través de l'àrea formant un àngul θ en l'àrea normal $\widehat{𝐧}$, llavors el producte escalar

$𝐣\cdot \widehat{𝐧}=j\cos \theta .$

És dir, la component del fluix que passa a través de la superfície (és dir, normal a ella) és j cos θ, mentres que la component del fluix que passa tangencial a l'àrea és j sense θ, pero cap fluix realment passa a través de l'àrea en direcció tangencial. El únic component del fluix que passa normal a l'àrea és la component del coseno.

Per al fluix vectorial, l'integral de superfície de j sobre una superfície S, s'obté el fluix normal per unitat de temps a través de la superfície:

$\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=\underset{S}{\iint }𝐣\cdot \widehat{𝐧}dA=\underset{S}{\iint }𝐣\cdot d𝐀,$

a on A (i el seu infinitesimal) és la combinació del vector d'àrea $𝐀=A\widehat{𝐧}$ (producte de la magnitut de l'àrea A per la que passa la propietat i del vector unitari $\widehat{𝐧}$ normal a l'àrea). A diferència del segon conjunt d'equacions, ací la superfície no té per qué ser plana.

Finalment, es pot integrar novament durant el temps t₁ a t₂, obtenint-se la cantitat total de la propietat que fluïx a través de la superfície en eixe temps (t₂ − t₁):

$q=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\underset{S}{\iint }𝐣\cdot d𝐀dt.$

Fluix de transport

Huit de les formes més comunes de fluix de la bibliografia sobre fenomens de transport es definixen de la següent manera:

1. Fluix de moment, la taxa de transferència de cantitat de moviment a través d'una unitat d'àrea (N·s·m⁻²·s⁻¹). (Llei de Newton de la viscosidad)
2. Fluix de calor, la taxa de fluix de calor a través d'una unitat d'àrea (J·m⁻²·s⁻¹). (Llei de Fourier de la conducció) (Esta definició de fluix de calor s'ajusta a la definició original de Maxwell).
3. Lleis de Fick, la taxa de moviment de molècules a través d'una unitat d'àrea (mol·m⁻²·s⁻¹). (Lleis de Fick)
4. Fluix volumètric, la taxa de fluix de volum a través d'una unitat d'àrea (m³·m⁻²·s⁻¹). (Llei de Darcy del fluix d'aigües subterrànees)
5. Fluix de massa, la taxa de fluix de massa a través d'una unitat d'àrea (kg·m⁻²·s⁻¹). (O una forma alternativa de la llei de Fick que inclou la massa molecular, o una forma alternativa de la llei de Darcy que inclou la densitat).
6. Fluix radiant, la cantitat d'energia transferida en forma de fotons a una certa distància de la font per unitat d'àrea per segon (J·m⁻²·s⁻¹). S'utilisa en astronomia per a determinar la magnitut i la classificació estelar d'una estrela. També actua com una generalisació del fluix de calor, que és igual al fluix radiant quan es restringix a l'espectre electromagnètic.
7. Fluix d'energia, la taxa de transferència d'energia a través d'una unitat d'àrea (J·m⁻²·s⁻¹). El fluix radiant i el fluix de calor són casos específics del fluix d'energia.
8. Fluix de partícules, la taxa de transferència de partícules a través d'una unitat d'àrea ([número de partícules] m⁻²·s⁻¹)

Estos fluix són vectores en cada punt de l'espai i tenen una magnitut i direcció definides. Ademés, es pot prendre la divergència de qualsevol d'estos fluix per a determinar la taxa d'acumulació de la cantitat en un volum de control al voltant d'un punt determinat en l'espai. Per al cas d'un fluix incompresible, la divergència del fluix de volum és zero.

Difusió química

Com es va mencionar anteriorment, el fluix molar químic d'un component A en un procés isotèrmic i isobàric es definix en les lleis de Fick com:

${𝐉}_A=-D_{AB}\mathrm{\nabla }{c}_A$

a on el símbol nabla ∇ denota l'operador gradient, D_AB és el coeficient de difusió (m²·s⁻¹) del component A que es difon a través del component B, c_A és la concentració (mol/m³) del component A.

Este fluix té unitats de mol·m⁻²·s⁻¹ i s'ajusta a la definició original de fluix de Maxwell.

Per a gasos diluïts, la teoria cinètica molecular relaciona el coeficient de difusió D en la densitat de partícules n = N/V, la massa molecular m, la secció eficaç de colisió $\sigma$ i la temperatura absoluta T per

$D=\frac{2}{3n\sigma }\sqrt{\frac{kT}{\pi m}}$

a on el segon factor és el camí lliure mig i la raïl quadrada (en la constant de Boltzmann k) és la velocitat mija de les partícules.

En fluix turbulentos, el transport per moviment de moles es pot expressar com un coeficient de difusió molt aumentat.

Mecànica quàntica

Artícul principal → Corrent de provabilitat.

En mecànica quàntica, les partícules de massa m en estat quàntic ψ(r, t) tenen un densitat de provabilitat definida com

$\rho ={\psi }^{*}\psi =|\psi {|}^2.$

Llavors, la provabilitat de trobar una partícula en un element de volum diferencial d³r és

$dP=|\psi {|}^2{d}^3𝐫.$

Llavors, el número de partícules que passen perpendicularmente a través de l'unitat d'àrea d'una secció travessera per unitat de temps és la provabilitat de fluix

$𝐉=\frac{i\hslash }{2m}(\psi \mathrm{\nabla }{\psi }^{*}-{\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\psi ).$

Açò a voltes es denomina corrent de provabilitat o densitat de corrent, o també densitat de fluix de provabilitat.