Vector d'àrea

Punt de cadira en rectes tangentes

En geometria tridimensional i càlcul vectorial, un vector d'àrea és un vector que combina la medida escalar d'un àrea en una orientació, representant aixina un àrea orientada en tres dimensions.

Cada superfície acotada en tres dimensions es pot associar en un vector d'àrea únic cridat àrea vectorial. És igual a l'integral de superfície de la normal i distint del escalar habitual (que medix exclusivament l'àrea superficial).

El vector d'àrea pot vore's com la generalisació tridimensional del àrea en signe en dos dimensions.

Definició

Per a una superfície plana finita d'àrea escalar S i normal n̂, l'àrea vectorial S es definix com l'unitat normal escalada per l'àrea:

$𝐒=\widehat{𝐧}S$

Per a una superfície orientada S composta per un conjunt S_i d'àrees planes o facetes, l'àrea vectorial de la superfície ve donada per

$𝐒=\sum _i{\widehat{𝐧}}_i{S}_i$

a on n̂_i és el vector unitari normal a l'àrea S_i.

Per a superfícies curves orientades i acotades en suficient bon comportament, encara es pot definir l'àrea vectorial. Per a això, primer es dividix la superfície en elements infinitesimals, cada u dels quals és efectivament pla. Per a cada element infinitesimal d'àrea, es té un vector d'àrea, també infinitesimal

$d𝐒=\widehat{𝐧}dS$

a on n̂ és el vector unitari local perpendicular a dS. L'integració dona l'àrea vectorial de la superfície.

$𝐒=\int d𝐒$

Propietats

L'àrea vectorial d'una superfície es pot interpretar com l'àrea proyectada (en signe) o "ombra" de la superfície en el pla en el que és major; la seua direcció està donada per la normal d'eixe pla.

Per a una superfície curva o facetada (és dir, no plana), l'àrea del vector és menor en magnitut que l'àrea superficial real. Com a eixemple extrem, una superfície tancada pot posseir un àrea arbitrariamente gran, pero la seua àrea vectorial és necessàriament zero. Les superfícies que compartixen un llímit poden tindre àrees molt diferents, pero deuen tindre la mateixa àrea vectorial; l'àrea vectorial està completament determinada pel llímit. Estes són conseqüències del teorema de Stokes.

En el cas d'un paralelogramo, l'àrea vectorial ve donada pel producte vectorial dels dos vectores que ho comprenen. És el doble de l'àrea (vectorial) del triàngul format pels mateixos vectores. En general, l'àrea vectorial de qualsevol superfície el llímit de la qual consistixca en una seqüència de segments rectilíneos (un concepte anàlec a un polígon en dos dimensions), es pot calcular utilisant una série de productes creuats corresponents a un triangulació de la superfície. Esta és la generalisació de la fòrmula de l'àrea de Gauss a tres dimensions.

Usant el teorema de Stokes aplicat a un camp vectorial elegit apropiadament, es pot deduir una integral de llímit per al vector d'àrea:

$𝐒=\frac{1}{2}{\oint }_{\partial S}𝐫\times d𝐫$

a on $\partial S$ és el llímit de S, és dir, una o més curvas espacials tancades orientades. Esta situació és anàloga al càlcul de l'àrea usant la teorema de Green en un espai bidimensional.