Àrea superficial

Una esfera de radi

r

té un àrea superficial de

4 π r^{2}

El àrea superficial d'un objecte sòlit és una mida de l'àrea total que ocupa la superfície de l'objecte. La definició matemàtica de l'àrea de superfície en presència de superfícies curves és considerablement més complicada que la definició de la llongitut d'arc de curves unidimensionals, o de l'àrea de superfície per a poliedres (és dir, objectes en cares poligonales planes), per als quals l'àrea de superfície és la suma de les àrees de les seues cares. A les superfícies planes, com una esfera, se'ls assigna un àrea de superfície utilisant la seua representació com superfícies paramètriques. Esta definició d'àrea superficial es basa en métodos de càlcul infinitesimal i implica derivades parcials i doble integració.

Una definició general de l'àrea de la superfície va ser buscada per Henri Lebesgue i Hermann Minkowski a principis de el XX. El seu treball va conduir al desenroll de la teoria de la mida geomètrica, que estudia vàries nocions d'àrea de superfície per a objectes irregulars de qualsevol dimensió. Un eixemple important és el contingut de Minkowski d'una superfície.

Definició

Si be les àrees de moltes superfícies simples es coneixen des de l'antiguetat, una definició matemàtica rigorosa d'àrea requerix molt conte.

Açò deuria proporcionar una funció.

S \mapsto A (S)

que assigna un número real positiu a una certa classe de superfícies que satisfà varis requisits naturals. La propietat més fonamental de l'àrea de superfície és la seua aditividad: l'àrea del conjunt és la suma de les àrees de les parts. Més rigorosament, si una superfície S és una unió d'un número finito de peces S₁, ..., S_r que no se superponen llevat en els seus llímits, llavors

A (S) = A (S_{1}) + \dots + A (S_{r}) .

Les àrees superficials de formes poligonales planes deuen coincidir en la seua àrea geomètricament definida. Ya que l'àrea superficial és una noció geomètrica, les àrees de superfícies congruents deuen ser iguals i l'àrea deu dependre solament de la forma de la superfície, pero no de la seua posició i orientació en l'espai. Açò significa que l'àrea de la superfície és invariante baix el grup de moviments euclidianos. Estes propietats caracterisen de manera única l'àrea de la superfície per a una àmplia classe de superfícies geomètriques cridades planes per parts. Dites superfícies consistixen en moltes peces que poden representar-se en forma paramètrica.

S_{D} : \vec{r} = \vec{r} (u, v), (u, v) \in D

En una funció contínuament diferenciable $\vec{r} .$ L'àrea d'una peça individual està definida per la fòrmula.

A (S_{D}) = \iint_{D} | {\vec{r}}_{u} \times {\vec{r}}_{v} | d u d v .

D'esta manera, l'àrea de S_D s'obté en integrar la llongitut del vector normal ${\vec{r}}_{u} \times {\vec{r}}_{v}$ a la superfície sobre la regió apropiada D en el pla uv paramètric. L'àrea de tota la superfície s'obté després sumant les àrees de les peces, utilisant la aditividad de l'àrea de superfície. La fòrmula principal pot ser especialisada per a diferents classes de superfícies, donant, en particular, fòrmules per a àrees de gràfics z = f (x,i) i superfícies de revolució.

Archiu:Schwarz-lantern.gif

Llanterna Schwarz en

M

corts axials i

N

vèrtiços radials. El llímit de l'àrea segons

M

i

N

tendir a l'infinit no convergix. En particular, no convergix a l'àrea del cilindre.

Una de les subtilea de l'àrea de superfície, en comparació a la llongitut d'arc de les curves, és que l'àrea de superfície no es pot definir simplement com el llímit d'àrees de formes polièdriques que s'aproximen a una superfície plana determinada. Hermann Schwarz va demostrar que per al cilindre, diferents opcions d'aproximació de superfícies planes poden dur a diferents valores llímit de l'àrea; este eixemple es coneix com la llanterna de Schwarz.^[1]^[2]

Henri Lebesgue i Hermann Minkowski varen desenrollar varis enfocaments per a una definició general d'àrea superficial a finals de el XIX i principis de el XX. Si be per a superfícies planes per trams hi ha una noció natural una única àrea superficial, si una superfície és molt irregular o rugosa, pot ser que no siga possible assignar-li un àrea. Un eixemple està donat per una superfície en picos distribuïts en forma densa. Moltes superfícies d'este tipo es generen per mig de fractales. Les extensions de la noció d'àrea que complixen parcialment la seua funció i que poden definir-se inclús per a superfícies molt irregulars s'estudien en la teoria de la mida geomètrica.

Fòrmules comunes

Àrees superficials en sòlits comuns
Forma	Equació	Variables
Gaveta	$6 s^{2}$	s = llarc del costat
Ortoedro	$2 (ℓ w + ℓ h + w h)$	ℓ = llarc, w = ample, h = altura
Prisma triangular	$b h + l (a + b + c)$	b = llongitut de la base del triàngul, h = altura del triàngul, l = distancia entre les bases triangulars, a, b, c = costats del triàngul
Prismes	$2 B + P h$	B = l'àrea d'una base, P = el perímetro d'una base, h = altura
Esfera	$4 π r^{2} = π d^{2}$	r = radi de l'esfera, d = diàmetro
Lúnula esfèrica	$2 r^{2} θ$	r = radi de l'esfera, θ = àngul diedro
Bou	$(2 π r) (2 π R) = 4 π^{2} R r$	r = ràdio menor (ràdio del tubo), R = ràdio major (distància del centre del tubo al centre del bou)
Cilindre tancat	$2 π r^{2} + 2 π r h = 2 π r (r + h)$	r = radi de la base circular, h = altura del cilindre
Àrea superficial lateral d'un con	$π r (\sqrt{r^{2} + h^{2}}) = π r s$	$s = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$ s = altura inclinada del con, r = radi de la base circular, h = altura del con
Àrea superficial total d'un con	$π r (r + \sqrt{r^{2} + h^{2}}) = π r (r + s)$	s = altura inclinada del con, r = radi de la base circular, h = altura del con
Piràmide	$B + \frac{P L}{2}$	B = àrea de la base, P = perímetro de la base, L = altura inclinada
Piràmide quadrada	$b^{2} + 2 b s = b^{2} + 2 b \sqrt{{(\frac{b}{2})}^{2} + h^{2}}$	b = llarc de la base, s = altura inclinada, h = altura vertical
Piràmide rectangular	$l w + l \sqrt{{(\frac{w}{2})}^{2} + h^{2}} + w \sqrt{{(\frac{l}{2})}^{2} + h^{2}}$	ℓ = llarc, w = ample, h = altura
Tetraedre	$\sqrt{3} a^{2}$	a = llarc de costat

Relació entre les àrees de superfície d'una esfera i cilindre del mateix radi i altura

Archiu:Inscribed cone sphere cylinder.svg

Un con, esfera i cilindre de ràdio r i altura h.

Les següents fòrmules es poden usar per a mostrar que l'àrea de superfície d'una esfera i un cilindre del mateix radi i altura estan en la relació 2 : 3, com seguix.

Ací el radi és r i l'altura h (que és 2r per a l'esfera).

$\begin{matrix} Esfera & = 4 π r^{2} & = (2 π r^{2}) \times 2 \\ Cilindro & = 2 π r (h + r) & = 2 π r (2 r + r) & = (2 π r^{2}) \times 3 \end{matrix}$

El descobriment d'esta relació s'acredita a Arquímedes.^[3]

Referències

↑ «Schwarz's Paradox». Archivat des d'el original, el 4 de març de 2016. Consultat el 21 de març de 2017.
↑ «Archived copy». Archivat des d'el original, el 15 de decembre de 2011. Consultat el 24 de juliol de 2012.
↑ Rorres. «Tomb of Archimedes: Sources». Courant Institute of Mathematical Sciences. Archivat des d'el original, el 9 de decembre de 2006. Consultat el 2 de giner de 2007.

Este artícul conté una traducció derivada de «Área superficial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[sch1-1] «Schwarz's Paradox». Archivat des d'el original, el 4 de març de 2016. Consultat el 21 de març de 2017.

[sch2-2] «Archived copy». Archivat des d'el original, el 15 de decembre de 2011. Consultat el 24 de juliol de 2012.

[3] Rorres. «Tomb of Archimedes: Sources». Courant Institute of Mathematical Sciences. Archivat des d'el original, el 9 de decembre de 2006. Consultat el 2 de giner de 2007.

[1]

[2]

[3]