Forma modular simulada

En matemàtiques, una forma modular simulada és la part holomórfica d'una forma de Maass dèbil harmònica, i una funció theta simulada és essencialment una forma modular simulada de pes 1/2. Srinivasa Ramanujan va descriure els primers eixemples de funcions theta simulades en la seua última carta de 1920 a G. H. Hardy i en la seua quadern perdut.Plantilla:Harv Sander Zwegers va descobrir que agregar-los certes funcions no holomorfas les convertix en formes harmòniques dèbils de Maass.

Història

La carta de Ramanujan del 12 de giner de 1920 a Hardy, reimpresa en Plantilla:Harv, enumerava 17 eixemples de funcions que va cridar funcions simulades de theta, i la seua quadern perdut Plantilla:Harv contenia varis eixemples més. (Ramanujan va usar el terme "funció theta" per a lo que hui es cridaria una forma modular). El propi Ramanujan va senyalar que tenen una série asintòtica en els cims, similar a la de les formes modular de pes 1/2, possiblement en pols en els cims, pero no pot expressar-se en térmens d'una funció theta "ordinària". Va cridar a funcions en propietats similars "simulacres de funcions theta". Més vesprada, Zwegers va descobrir la conexió de la funció theta simulada en les formes de Maass dèbils.

Ramanujan va associar un orde a les seues funcions theta simulades, que no estaven clarament definides. Abans del treball de Zwegers, les órdens de les funcions theta simulades conegudes incloïen

3, 5, 6, 7, 8, 10.

La noció d'orde de Ramanujan més vesprada va resultar correspondre al conductor de la forma modular de pes Plantilla:Frac de les formes harmòniques de Maass que admeten les funcions simulades theta de Ramanujan com les seues proyeccions holomorfas.

En les següents décades, Watson, Andrews, Selberg, Hickerson, Choi, McIntosh i uns atres varen estudiar les funcions simulades theta de Ramanujan. Varen provar les declaracions de Ramanujan sobre elles i varen trobar varis eixemples i identitats més. La majoria de les "noves" identitats i eixemples ya eren coneguts per Ramanujan, i varen reaparéixer en el seu quadern perdut.Watson (1936) va descobrir que baix l'acció d'elements del grup modular, l'orde 3 de funcions theta simulades casi es transforma en formes modular de pes 1/2 (multiplicat per les potències adequades de q), llevat perque hi ha "térmens d'error" en les equacions funcionals, generalment donats com a integrals explícites. No obstant, durant molts anys no va haver una bona definició d'una funció theta simulada. Açò va canviar en 2001, quan Zwegers va descobrir la seua relació en les formes modular no holomórficas, sumes de Lerch i séries theta indefinides.Zwegers (2002) va demostrar, utilisant el treball previ de Watson i Andrews, que les funcions theta simulades dels órdens 3, 5 i 7 poden escriure's com la suma d'una forma dèbil de Maass de pes Plantilla:Frac i una funció que està llimitada en geodèsicas que terminen en cims. La forma dèbil de Maass té un autovalor 3/16 baix la laplaciana hiperbòlica (el mateix valor que les formes modular holomorfas de pes Plantilla:Frac); pero que no obstant, aumenta exponencialment ràpit prop dels cims, per lo que no satisfà la condició de creiximent habitual per a la forma d'ona de Maass. Zwegers va demostrar este resultat de tres maneres diferents, relacionant les funcions theta simulades en les funcions theta de Hecke de retículas indefinides de dimensió 2, i en les sumes de Appell-Lerch, i en les formes meromórficas de Jacobi.

El resultat fonamental de Zwegers demostra que les funcions simulades de theta són les "parts holomórficas" de les formes analítiques modular reals de pes 1/2. Açò permet ampliar molts resultats sobre formes modular de les funcions theta simulades. En particular, de la mateixa manera que les formes modular, les funcions simulades de theta es troben en certs espais explícits de dimensions finitas, lo que reduïx les proves llargues i dures de moltes identitats entre elles al àlgebra llineal rutinària. Per primera volta es va fer possible produir un número infinit d'eixemples de funcions theta simulades. Abans d'este treball, solament es coneixien uns 50 eixemples (la majoria dels quals varen ser trobats per primera volta per Ramanujan). Com atres aplicacions de les idees de Zwegers, Kathrin Bringmann i Ken Ono varen demostrar que certes series q que sorgixen de la série hipergeométrica bàsica de Rogers–Fine estan relacionades en parts holomórficas de la forma harmònica de Maas dèbil de pes 3/2 Plantilla:Harv i va demostrar que la série asintòtica per a coeficients de la funció theta simulada d'orde 3 f(q) estudiada per Plantilla:Harv i Dragonette (1952) convergix als coeficients Plantilla:Harv. En particular, les funcions theta simulades posseïxen expansions asintòtiques en les cims del grup modular, actuant sobre el semiplano superior, que s'assemblen a les de forma modular de pes 1/2 en pols en els cims.

Definició

Una forma modular simulada es definirà com la "part holomórfica" d'una forma harmònica de Maass dèbil.

Prenga's un pes k, generalment en 2k sancer. Elegixca's un subgrup Γ de SL₂(Z) (o del grup metapléctico si k és semi-sancer) i un caracter ρ de Γ. Una forma modular f per a este caracter i este grup Γ es transforma baix elements de Γ per

$f\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=\rho \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)(c\tau +d{)}^{k}f(\tau )$

Una forma dèbil de Maass de pes k és una funció contínua en el semiplano superior que es transforma com una forma modular de pes 2 & minus; k i és una funció pròpia del operador laplaciano de pes k, i es diu harmònic si el seu valor propi és (1 − k/2)k/2 Plantilla:Harv. Est és el valor propi de les formes modular de pes k holomórficas, per lo que tots estos són eixemples de formes de Maass harmòniques dèbils. Una forma de Maass és una forma de Maass dèbil que disminuïx ràpidament en els cims.

Llavors, una forma de Maass dèbil harmònica és anulada per l'operador diferencial

$\frac{\partial }{\partial \tau }{y}^k\frac{\partial }{\partial \bar{\tau }}$

Si F és qualsevol forma de Maass dèbil harmònica, llavors la funció g donada per

$g=y^k\frac{\partial \bar{F}}{\partial \tau }=\sum _n{b}_n{q}^n$

és holomorfa i es transforma com una forma modular de pes k, encara que pugues no ser holomorfa en els cims. Si es pot trobar qualsevol atra funció g^* en la mateixa image g, llavors F − g^* serà holomorfa. Dita funció es dona invertint l'operador diferencial per integració; per eixemple es pot definir

$g^{*}(\tau )={\left(\frac{i}{2}\right)}^{k-1}\underset{-\bar{\tau }}{\overset{i\mathrm{\infty }}{\int }}(z+\tau {)}^{-k}\overline{g(-\stackrel{‾}{z})}dz=\sum _n{n}^{k-1}\overline{b_n}{\beta }_k(4ny)q^{-n+1}$

a on

${\beta }_k(t)=\underset{t}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^{-k}{e}^{-\pi u}du$

és essencialment la funció gamma incompleta.

L'integral convergix sempre que g té un zero en el cim i, i la funció gamma incompleta es pot estendre per continuació analítica, per lo que esta fòrmula es pot utilisar per a definir la part holomórfica g^* de F inclús en el cas de que g siga meromórfica en i∞, encara que açò requerix cert conte si k és 1 o no sancer, o si n = 0. L'invers de l'operador diferencial està llunt de ser únic, ya que es pot agregar qualsevol funció homomórfica a g^* sense afectar a la seua image, i com resultat la funció g^* no necessita ser invariante baix el grup Γ. La funció h = F − g^* es diu part holomórfica de F.

Una forma modular simulada es definix com la part holomórfica h d'alguna forma harmònica dèbil de Maass F. Llavors, existix un isomorfisme des de l'espai de formes modular simulades h cap al subespacio de les formes harmòniques dèbils de Maass.

La forma modular simulada h és holomorfa pero no del tot modular, mentres que h + g^* és modular pero no del tot holomorfa. L'espai de formes modular simulades de pes k conté l'espai de formes casi modular ("formes modular que poden ser meromórficas en els cims") de pes k com un subespacio. El cocient és (antilinealmente) isomorfo a l'espai de formes modular holomorfas de pes 2 − k. La forma modular de pes −(2 − k) g corresponent a una forma modular simulada h es diu ombra. És prou comú que diferents funcions theta simulades tinguen la mateixa ombra. Per eixemple, les 10 funcions theta simulades d'orde 5 trobades per Ramanujan es dividixen en dos grups de 5, a on totes les funcions en cada grup tenen la mateixa ombra (considerant la multiplicació per una constant).Zagier (2007) definix una funció theta simulada com una potència racional de q = i^2πiτ multiplicada per una forma modular simulada de pes 1/2 l'ombra de la qual és una série theta de la forma

$\sum _{n\in Z}\epsilon (n)n{q}^{\kappa n^2}$

per a una κ racional positiva i una funció periòdica impar ε. Qualsevol d'estes séries theta és una forma modular de pes 3/2. La potència racional de q es pot considerar un accident històric.

La majoria de les formes modular simulades i les formes dèbils de Maass tenen un ràpit creiximent en els cims. És comú impondre la condició de que creixen com a màxim exponencialment en els cims (lo que per a les formes modular simulades significa que són "meromórficas" en els cims). L'espai de les formes modular simulades (de pes i grup donats) el creiximent del qual està llimitat per alguna funció exponencial fixa en els cims és de dimensió finita.

Referències

• (1966).«On the theorems of Watson and Dragonette for Ramanujan's mock theta functions».American Journal of Mathematics.88(2)

454–490.ISSN 0002-9327.doi:10.2307/2373202.

• (1986).«The fifth and seventh order mock theta functions».Transactions of the American Mathematical Society.293(1)

113–134.ISSN 0002-9947.doi:10.2307/2000275.

• (1989).«Theta functions—Bowdoin 1987, Part 2 (Brunswick, ME, 1987)».American Mathematical Society.Providence, R.I.:49

283–298.

• (1988).«Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill., 1987)».Academic Press.Boston, MA:

47–56.

• (1989).«Ramanujan's lost notebook. VI. The mock theta conjectures».Advances in Mathematics.73(2)

242–255.ISSN 0001-8708.doi:10.1016/0001-8708(89)90070-4.

• (1991).«Ramanujan's lost notebook. VII. The sixth order mock theta functions».Advances in Mathematics.89(1)

60–105.ISSN 0001-8708.doi:10.1016/0001-8708(91)90083-J.

• (1884).«Sur els fonctions doublement périodiques de troisième espèce».Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure.1

135–164.doi:10.24033/asens.236.

• (2007).«Sixth order mock theta functions».Advances in Mathematics.216(2)

771–786.ISSN 0001-8708.doi:10.1016/j.aim.2007.06.004.

• (2007).«Lifting cusp forms to Maass forms with an application to partitions». Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America.104(10)

3725–3731.ISSN 0027-8424.doi:10.1073/pnas.0611414104.

• (2006).«The f(q) mock theta function conjecture and partition ranks».Inventiones Mathematicae.165(2)

243–266.ISSN 0020-9910.doi:10.1007/s00222-005-0493-5.

• (2010).«Dyson's ranks and Maass forms».Annals of Mathematics.171

419.doi:10.4007/annals.2010.171.419.

• (2004).«On two geometric theta lifts».Duke Mathematical Journal.125(1)

45–90.ISSN 0012-7094.doi:10.1215/S0012-7094-04-12513-8.

• (1999).«Tenth order mock theta functions in Ramanujan's lost notebook».Inventiones Mathematicae.136(3)

497–569.ISSN 0020-9910.doi:10.1007/s002220050318.

• (2000).«Tenth order mock theta functions in Ramanujan's lost notebook. II».Advances in Mathematics.156(2)

180–285.ISSN 0001-8708.doi:10.1006/aima.2000.1948.

• (2002).«Tenth order mock theta functions in Ramanujan's lost notebook. IV».Transactions of the American Mathematical Society.354(2)

705–733.ISSN 0002-9947.doi:10.1090/S0002-9947-01-02861-6.

• (2007).«Tenth order mock theta functions in Ramanujan's lost notebook. III».Proceedings of the London Mathematical Society.94(1)

26–52.ISSN 0024-6115.doi:10.1112/plms/pdl006.

• Plantilla:Cite arxiv
• (1952).«Some asymptotic formulae for the mock theta series of Ramanujan».Transactions of the American Mathematical Society.Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 72, No. 3.72(3)

474–500.ISSN 0002-9947.doi:10.2307/1990714.

• (1988).«Basic hypergeometric séries and applications».American Mathematical Society.Providence, R.I.:27
• (2008).«The coefficients of the ω(q) mock theta function».International Journal of Number Theory.4(6)

1027–1042.ISSN 1793-0421.doi:10.1142/S1793042108001869.

• (2000).«Some eighth order mock theta functions».Journal of the London Mathematical Society.62(2)

321–335.ISSN 0024-6107.doi:10.1112/S0024610700008735.

• (1988).«A proof of the mock theta conjectures».Inventiones Mathematicae.94(3)

639–660.ISSN 0020-9910.doi:10.1007/BF01394279.

• (1988).«On the seventh order mock theta functions».Inventiones Mathematicae.94(3)

661–677.ISSN 0020-9910.doi:10.1007/BF01394280.

• (1976).«Intersection numbers of curves on Hilbert modular surfaces and modular forms of Nebentypus».Inventiones Mathematicae.36

57–113.ISSN 0020-9910.doi:10.1007/BF01390005.

• (1999).«Modular forms and quàntum invariants of 3-manifolds».The Asian Journal of Mathematics.3(1)

93–107.ISSN 1093-6106.doi:10.4310/AJM.1999.v3.n1.a5.Consultat el 1 de juliol de 2020.

• (1892).«Bemerkungen zur Theorie der elliptischen Funktionen».Jahrbuch uber die Fortschritte der Mathematik.24

442–445.

• (2007).«Second order mock theta functions».Canadian Mathematical Bulletin.50(2)

284–290.ISSN 0008-4395.doi:10.4153/CMB-2007-028-9.Consultat el 1 de juliol de 2020.

• (1988).«The lost notebook and other unpublished papers».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York:
• (2000).«Collected papers of Srinivasa Ramanujan».Nature.AMS Chelsea Publishing.Providence, R.I.:123(3104)

631.doi:10.1038/123631a0.

• (1938).«Über die Mock-Thetafunktionen siebenter Ordnung. (On the mock theta functions of seventh order)».Archiv for Mathematik og Naturvidenskab.41

3–15. Reimpreso en el volum I de les seues obres recopilades.

• (2005).«Higher-level Appell functions, modular transformations, and characters».Communications in Mathematical Physics.255(2)

469–512.ISSN 0010-3616.doi:10.1007/s00220-004-1280-7.

• (2010).«The Senar-Compact Elliptic Genus : Mock or Modular».Journal of High Energy Physics.2010(6)

104.doi:10.1007/JHEP06(2010)104.

• (1977).«Modular functions of one variable, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn, Bonn, 1976)».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York:627

27–67.doi:10.1007/BFb0065296.

• (1936).«The Final Problem : An Account of the Mock Theta Functions».Journal of the London Mathematical Society.11

55–80.doi:10.1112/jlms/s1-11.1.55.

• (1937).«The Mock Theta Functions (2)».Proceedings of the London Mathematical Society.s2-42

274–304.doi:10.1112/plms/s2-42.1.274.

• (1975).«Noms de classes et formes modulaires de poids 3/2».Comptes Rendus de l'Académie dones Sciences, Série A et B.281(21)

Ai, A883–A886.ISSN 0151-0509.

• (2009).«Ramanujan's mock theta functions and their applications (after Zwegers and Ono-Bringmann)».Astérisque.326

143–164.ISSN 0303-1179.

• (2002).«Mock Theta Functions».Utrecht PhD thesis.
• ^{[enllaç trencat]} (Enllaç trencat: febrer de 2018)
• ^{[enllaç trencat]} (Enllaç trencat: febrer de 2018)