Fractal de Newton

Archiu:Julia set for the rational function.png

Julia va establir la funció racional associada al método de Newton per a f(z) = z³ − 1.

El fractal de Newton és una frontera en el pla complex delimitada per mig del método de Newton aplicat a un polinomi fix p(Z) ∈ ℂ[Z] o a una funció transcendent. És el conjunt de Julia de la funció meromorfa z ↦ z − Plantilla:Sfrac, que ve dau pel método de Newton. Quan no hi ha cicles atractius (d'orde major que 1), dividix el pla complex en regions G_k, cada una de les quals està associada en una raïl ζ_k del polinomi, k = 1, …, deg(p). D'esta manera, el fractal de Newton és similar al conjunt de Mandelbrot i, de la mateixa manera que atres fractales, exhibix una apariència intrincada que sorgix d'una descripció simple. És rellevant en anàlisis numèric perque mostra que (fòra de la regió d'orde de convergència) el método de Newton pot ser molt sensible a l'elecció del punt d'inici.

Molts punts del pla complex estan associats en una de les raïls deg(p) del polinomi de la següent manera: el punt s'usa com a valor inicial z₀ per a la iteración de Newton z_{n + 1} := z_n − Plantilla:Sfrac, produint una seqüència de punts z₁, z₂, …,

Si la seqüència convergix a la raïl ζ_k, llavors z₀ era un element de la regió G_k. No obstant, per a cada polinomi de grau a lo manco 2 hi ha punts per als quals la iteración de Newton no convergix a cap raïl: eixemples són els llímits de les conques d'atracció de les diverses raïls. Inclús hi ha polinomis per als que conjunts oberts de punts de partida no convergixen a cap raïl: un eixemple simple és z³ − 2z + 2, a on alguns punts són atrets pel cicle 0, 1, 0, 1… en lloc de per una raïl.

Un conjunt obert para el qual les iteraciones convergixen cap a una raïl o cicle donat (que no és un punt fix), és un conjunt de Julia per a la iteración. El conjunt complementari a l'unió de tots estos, és el conjunt de Julia. Els conjunts de Fatou tenen un llímit comú, a saber, el conjunt de Julia. Per lo tant, cada punt del conjunt de Julia és un punt d'acumulació per a cada u dels conjunts de Fatou. És esta propietat la que causa l'estructura fractal del conjunt de Julia (quan el grau del polinomi és major que 2).

Per a traçar imàgens interessants, primer es pot elegir un número específic d de punts complexos (ζ₁, …, ζ_d) i calcular els coeficients (p₁, …, p_d) del polinomi

$p(z)=z^d+p_1{z}^{d-1}+\cdots +p_{d-1}z+p_d:=(z-{\zeta }_1)(z-{\zeta }_2)\cdots (z-{\zeta }_d)$.

Després, per a una retícula rectangular

$z_{mn}=z_{00}+m\Delta x+in\Delta y;m=0,\dots ,M-1;n=0,\dots ,N-1$

de punts en ℂ, es troba l'índex k(m,n) de la raïl corresponent ζ_k(m,n) i s'usa per a omplir una cuadrícula de M × N píxels, assignant a cada punt (m,n) un color f_k(m,n). Ademés o alternativament, els colors poden dependre de la distància D(m,n), que es definix com el primer valor D tal que Plantilla:Absf < ε per a alguns ε > 0 menuts prèviament fixats.

Generalisació dels fractales de Newton

Una generalisació de la iteración de Newton és

$z_{n+1}=z_n-a\frac{p(z_n)}{p^{\prime }(z_n)}$

a on a és qualsevol número complejo. L'elecció particular en a = 1 correspon al fractal de Newton.

Els punts fixos d'esta aplicació són estables quan a es troba dins del disc de radi 1 centrat en 1. Quan a està fòra d'este disc, els punts fixos són localment inestables, no obstant, l'aplicació encara exhibix una estructura fractal en el sentit de Conjunt de Julia. Si p és un polinomi de grau d, llavors la seqüència z_n està acotada sempre que a estiga dins d'un disc de ràdio d centrat en d.

De manera més general, el fractal de Newton és un cas especial de conjunt de Julia.

• 
  Fractal de Newton per a tres raïls de grau 3 p(z) = z³ - 1, coloreado pel número de iteraciones requerides
• 
  Fractal de Newton per a tres raïls de grau 3 p(z) = z³ - 1, coloreado per la raïl alcançada
• 
  Fractal de Newton per a p(z) = z³ - 2z + 2. Els punts en les conques roges no apleguen a la raïl
• 
  Fractal de Newton per a un polinomi de sèptim orde, coloreado per la raïl alcançada i sombreado per la taxa de convergència
• 
  Fractal de Newton per a p(z) = z⁸ + 15x⁴ - 16
• 
  Fractal de Newton per a p(z) = z⁵ - 3iz³ - (5 + 2i)z² + 3z + 1, coloreado per la raïl alcançada, sombreado pel número de iteraciones requerides
• 
  Fractal de Newton per a p(z) = sense z, coloreado per la raïl alcançada, sombreado pel número de iteraciones requerides
• Un atre fractal de Newton per a p(z) = sense z
  Un atre fractal de Newton per a p(z) = sense z
• 
  Fractal de Newton generalisat per a p(z) = z³ - 1, a = -Plantilla:Sfrac. El color es va elegir en funció de l'argument despuix de 40 iteraciones
• 
  Fractal de Newton generalisat per a p(z) = z² - 1, a = 1 + i
• 
  Fractal de Newton generalisat per a p(z) = z³ - 1, a = 2
• 
  Fractal de Newton generalisat per a p(z) = z^{4 + 3i} - 1, a = 2.1
• 
  p(z) = z⁶ + z³ - 1
• 
  p(z) = sense z - 1
• 
  p(z) = sense z - 1
• 
  p(z) = cosh z - 1
• Erro al crear miniatura:
  p(z) = cosh z - 1

• p(z) = z3 - 1, a=1
  p(z) = z³ - 1, a=1
• p(z) = z3 - 1, a=2
  p(z) = z³ - 1, a=2
• p(z) = z4 - 1, a=1
  p(z) = z⁴ - 1, a=1
• p(z) = z4 - 1, a=2
  p(z) = z⁴ - 1, a=2
• p(z) = z5 - 1, a=1
  p(z) = z⁵ - 1, a=1
• p(z) = z5 - 1, a=2
  p(z) = z⁵ - 1, a=2
• p(z) = z6 - 1, a=1
  p(z) = z⁶ - 1, a=1
• p(z) = z7 - 1, a=1
  p(z) = z⁷ - 1, a=1
• p(z) = z7 - 1, a=2
  p(z) = z⁷ - 1, a=2
• p(z) = z8 - 1, a=1
  p(z) = z⁸ - 1, a=1
• p(z) = z10 - 1, a=1
  p(z) = z¹⁰ - 1, a=1

Fractales composts de potències i funcions trigonométricas.

• p(z) = z2Sense(Z) - 1, a=1
  p(z) = z²Sense(Z) - 1, a=1
• p(z) = z2Sense(Z) - 1, a=1 (zoom)
  p(z) = z²Sense(Z) - 1, a=1 (zoom)
• p(z) = z3Sense(Z) - 1, a=1
  p(z) = z³Sense(Z) - 1, a=1
• p(z) = z4Sense(Z) - 1, a=1
  p(z) = z⁴Sense(Z) - 1, a=1
• Plantilla:Center
  Plantilla:Center
• p(z) = z5Sense(Z) - 1, a=1
  p(z) = z⁵Sense(Z) - 1, a=1
• p(z) = z6Sense(Z) - 1, a=1
  p(z) = z⁶Sense(Z) - 1, a=1
• Plantilla:Center
  Plantilla:Center

Fractal Nova

Archiu:NovaFractal p(z)=z³-1 c=-1→1.gif Animació del fractal Nova "Julia" per a p(z) = z3 − 1 en c anant de -1 a 1, coloreado per la raïl alcançada

Archiu:NovaFractal p(z)=z³-1 C=0.5e^iφ.gif Animació del fractal Nova "Julia" per a p(z) = z3 − 1 en c = Plantilla:Sfraciiφ i φ anant de 0 a 2Π, coloreado per la raïl alcançada

Artícul principal → Fractal Nova.

El fractal Nova, inventat a mitan de la década de 1990 per Paul Derbyshire, és una generalisació del fractal de Newton en l'adició d'un valor c en cada pas:

$z_{n+1}=z_n-a\frac{p(z_n)}{p^{\prime }(z_n)}+c=G(a,c,z)$

La variant "Julia" del fractal Nova manté constant c sobre l'image i inicializa z₀ a les coordenades de píxels. La variant "Mandelbrot" del fractal Nova inicializa c en les coordenades de píxels i establix z₀ en un punt crític, a on

$\frac{\partial }{\partial z}G(a,c,z)=0.$

Els polinomis d'us comú com p(z) = z³ − 1 o p(z) = (z − 1)³ conduïxen a un punt crític en z = 1.

Generació

Per a generar el fractal de Newton, és necessari tindre una funció inicial i la seua funció derivada:

$\begin{array}{cc}f(z)& =z^3-1\\ f^{\prime }(z)& =3z^2\end{array}$

Les tres raïls de la funció són

$z=1,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Les funcions definides anteriorment es poden traduir en pseudocódigo de la següent manera:

//z^3-1 
float2 Function (float2 z)
{
	return cpow(z, 3) - float2(1, 0); //cpow is an exponential function for complex numbers
}

//3*z^2
float2 Derivative (float2 z)
{
	return 3 * cmul(z, z); //cmul is a function that handles multiplication of complex numbers
}

Ara és solament qüestió d'aplicar el método de Newton usant les funcions donades.

float2 roots[3] = //Roots (solutions) of the polynomial
{
	float2(1, 0), 
	float2(-.5, sqrt(3)/2), 
	float2(-.5, -sqrt(3)/2)
};
	
color colors[3] =  //Assign a color for each root
{
    ret,
    green,
    blue
}

Per a cada pixel (x, i) com a objectiu, fer que:
{
	zx = scaled x coordinate of pixel (scaled to lie in the Mandelbrot X scale (-2.5, 1))
    zy = scaled i coordinate of pixel (scaled to lie in the Mandelbrot I scale (-1, 1))

    float2 z = float2(zx, zy); //z is originally set to the pixel coordinates

	for (int iteration = 0;
	     iteration < maxIteration;
	     iteration++;)
	{
		z -= cdiv(Function(z), Derivative(z)); //cdiv is a function for dividing complex numbers

        float tolerance = 0.000001;
        
		for (int i = 0; i < roots.Length; i++)
		{
		    float2 difference = z - roots[i];
		    
			//If the current iteration is close enough to a root, color the pixel.
			if (abs(difference.x) < tolerance && abs (difference.i) < tolerance)
			{
				return colors[i]; //Return the color corresponding to the root
			}
		}
		
    }
    
    return black; //If no solution is found
}