Funció holomorfa

Les funcions holomorfas són el principal objecte d'estudi del anàlisis complex; són funcions que es definixen sobre un subconjunt del pla complex $mathbbC$ i en valors en $mathbbC$, que són complex-diferenciables en algun entorn d'un punt del seu domini. En este cas es diu que la funció és holomorfa en eixe punt. Si la funció és holomorfa en cada punt del seu domini, es diu que és holomorfa en el seu domini. Esta condició és molt més forta que la diferenciabilidad en cas real i implica que la funció és infinitament diferenciable i que pot ser descrita per mig de la seua série de Taylor.

El terme funció analítica s'usa a sovint en lloc de el de "funció holomorfa", especialment para quan es tracta de la restricció als número real d'una funció holomorfa. Les funcions holomorfas també es denominen a voltes funcions regulars. Una funció holomorfa el domini de la qual és tot el pla complex es denomina funció sancera. La frase "holomorfa en un punt z₀" significa no només diferenciable en z₀, sino diferenciable en tots els llocs dins d'algun veïnat de z₀ en el pla complex.

Definició

Archiu:Senar-holomorphic complex conjugate.svg

La funció f(z) = z̅ no és diferenciable complexa en zero, perque com s'ha vist anteriorment, el valor de (f(z) - f(0)) / (z - 0) varia depenent de la direcció des de la que s'aproxima a zero. A lo llarc de l'eix real, f és igual a la funció g(z) = z} i el llímit és 1, mentres que a lo llarc de l'eix imaginari, f és igual a h(z) = -z} i el llímit és -1. Atres direccions donen encara atres llímits.

Donada una funció de valor complex f d'una sola variable complexa, la derivada de f en un punt z₀ del seu domini es definix com el llímit.

La definició/funció és la següent:

Este llímit es pren ací sobre totes les successions d'número complejo que s'aproximen a z₀, i per a totes eixes successions el cocient de diferències té que donar el mateix número f '(z₀).

Intuitivament, si f és complex-diferenciable en z₀ i nos aproximem al punt z₀ des de la direcció r, llavors les imàgens s'acostaran al punt f(z₀) des de la direcció f '(z₀) r, a on l'últim producte és la multiplicació d'número complejo. Este concepte de diferenciabilidad compartix vàries propietats en la diferenciabilidad en cas real: és llineal i obedix a les regles de derivació del producte, del cocient i de la cadena.

Una funció és holomorfa en un conjunt obert O si és diferenciable complexa en cada punt de O. Una funció f és holomorfa en un punt z₀ si és holomorfa en alguna veïnat de z₀. Una funció és holomorfa en algun conjunt no obert A si és holomorfa en cada punt de A.

Una funció pot ser diferenciable complexa en un punt pero no holomorfa en eixe punt. Per eixemple, la funció $f(z)=|z{|}^2=zoverlinez$ és diferenciable complexa en 0, pero no diferenciable complexa en un atre lloc (vejau les equacions de Cauchy-Riemann, més alvance). Per lo tant, és no holomorfa en 0.

Si f és complex-diferenciable i les derivades són contínues en cada punt z₀ en O, es diu que f és holomorfa en O. És clar que, de la mateixa manera que en el cas real, si f és holomorfa i inyectiva en O —en inversa contínua— llavors $f^{-1}$ és holomorfa i la seua derivada val:

La relació entre la diferenciabilidad real i la diferenciabilidad complexa és la següent: Si una funció complexa f(x + i i) = o(x, i) + i  v(x, i) és holomorfa, llavors o i v tenen primeres derivades parcials sobre x i i, i satisfan les equacions de Cauchy-Riemann:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �rac{partial o}{partial x} = �rac{partial v}{partial i} qquad mbox{i} qquad �rac{partial o}{partial i} = -�rac{partial v}{partial x},}

o, equivalentement, la derivada de Wirtinger de f sobre Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ar z,} el complex conjugat de $z,$ és zero:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �rac{partial f}{partialoverline{z}} = 0,}

lo que equival a dir que, aproximadament, f és funcionalment independent de Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �ar z,} el complex conjugat de z.

Si no es dona continuïtat, l'inversa no és necessàriament certa. Una simple inversa és que si o i v tenen primeres derivades parcials contínues i satisfan les equacions de Cauchy-Riemann, llavors f és holomorfa. Un invers més satisfactori, que és molt més difícil de demostrar, és el Teorema de Looman-Menchoff: si f és contínua, o i v tenen primeres derivades parcials (pero no necessàriament contínues), i satisfan les equacions de Cauchy-Riemann, llavors f és holomorfa.

Terminologia

El terme holomorfo va ser introduït en 1875 per Charles Briot i Jean-Claude Bouquet, dos dels alumnes d'Augustin-Louis Cauchy, i deriva del grec ὅλος (hólos) que significa "tot", i μορφή (morphḗ) que significa "forma" o "apariència" o "tipo", en contrast en el terme meromórfica derivat de μέρος (méros) que significa "part". Una funció holomorfa s'assembla a una funció sancera ("sancera") en un domini del pla complex mentres que una funció meromorfa (definida com holomorfa llevat en certs pols aïllats), s'assembla a una fracció racional ("part") de funcions sanceres en un domini del pla complex.

Eixemples

Totes les funcions polinòmiques en z en coeficients complexos són holomorfas sobre C, i també ho són les funcions trigonométricas de z i la funció exponencial. (Les funcions trigonométricas estan de fet relacionades estretament en esta última i poden definir-se a partir d'ella usant la fòrmula de Euler). La branca principal de la funció logaritmo és holomorfa sobre el conjunt C - {z ∈ R : z ≤ 0}. La funció raïl quadrada es pot definir com : Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle sqrt{z} = i^{�rac{1}{2}ln z}} i és per tant allà a on lo siga la funció logaritmo ln(z). La funció 1/z és holomorfa sobre {z : z ≠ 0}. Les funcions trigonométricas inverses tenen corts i són holomorfas en tots els punts llevat en estos corts.

Propietats

• Com la diferenciació complexa és llineal i complix les mateixes regles del producte, del cocient i de la cadena que en el cas real, es té que les sumixques, producte, i el cocient de dos funcions holomorfas ho serà a on el denominador siga distint de zero. Açò és, si $f,g$ són holomorfas en un obert $O$, també ho són $f+g,f-g,$ i $fg$. Ademés, $f/g$ és holomorfa sempre i quan $g$ no tinga zeros en $O$; en un atre cas és meromorfa.

• La composició de funcions holomorfas és també holomorfa; siga f holomorfa en un en un obert $O$ i g holomorfa en un obert $D$, g : $D$ → $O$, llavors Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle f * En regions a on la primera derivada no és zero, les funcions holomorfas són [[Transformació conforme|conformes]]: preserven els ànguls i la forma (pero no el tamany) de les figures menudes.<ref>{{Citation | last1=Rudin | first1=Walter | author1-link=Walter Rudin | title=Real and complex analysis | publisher=McGraw–Hill Book Co. | location=New York | edition=3rd | isbn=978-0-07-054234-1 | mr=924157 | year=1987}}</ref> * Des d'un punt de vista algebraic, el conjunt de funcions holomorfas sobre un conjunt obert és un [[anell conmutativo]] i un[[Espai vectorial| espai vectorial complex]]. Ademés, el conjunt de funcions holomorfas en un conjunt obert {{mvar|O}} és un [[Domini d'integritat| domini integral]] si i només si el conjunt obert {{mvar|O}} és conexo. De fet, és un [[Espai localment convexo| espai vectorial topològic localment convexo]], sent la [[norma (matemàtiques)|seminorma]] la [[Element suprem i ínfim| suprema]] en un [[Espai compacte| subconjunt compacte]]. * Des d'una perspectiva geomètrica, una funció {{mvar|f}} és holomorfa en {{math|''z''₀}} si i només si el seu [[derivada exterior]] {{mvar|df}} en un veïnat {{mvar|O}} de {{math|''z''₀}} és igual a {{math|''f''′(''z'')&thinsp;''dz''}} per a alguna funció contínua {{math|''f''′}}. Es deduïx de :<math> extstyle 0 = d^2 f = d(f^prime dz) = df^prime wedge dz}

que df′ també és proporcional a dz, lo que implica que la derivada f′ és a la seua volta holomorfa i, per tant, que f és infinitament diferenciable. Análogament, d(f dz) = f′ dz ∧ dz = 0 implica que qualsevol funció f que siga holomorfa en la regió simplement conexa O és també integrable en O.

(Per a un camí γ de z₀ a z enterament en O, definir $F_{g}amma(z)=F_0+in{t}_{g}ammaf,dz;$ a la llum del teorema de la curva de Jordan i del teorema de Stokes generalisat, F_γ(z) és independent de l'elecció particular de la trayectòria γ, i per tant F(z) és una funció ben definida sobre O tenint F(z₀) = F₀ i dF = f dz. )

Vore també

• Biholomorfismo
• Funció meromorfa

Bibliografia

• Holomorphic function en MathWorld.