Identitat de Binet-Cauchy

En àlgebra, la identitat de Binet-Cauchy, que du el nom de Jacques Philippe Marie Binet i d'Augustin Louis Cauchy, establix que^[1]

(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} c_{i}) (\sum_{j = 1}^{n} b_{j} d_{j}) = (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} d_{i}) (\sum_{j = 1}^{n} b_{j} c_{j}) + \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}) (c_{i} d_{j} - c_{j} d_{i})

per a cada elecció d'un número real o número complejo (o més generalment, elements d'un anell conmutativo). En configurar a_i = c_i i b_j = d_j, s'obté l'identitat de Lagrange, que és una versió més forta de la desigualtat de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz per al espai euclídeo $ℝ^{n}$ .

L'identitat de Binet-Cauchy i l'àlgebra exterior

Quan $n = 3$ , el primer i segon térmens en el costat dret es convertixen en les magnituts quadrades del producte escalar i del producte vectorial respectivament; en les dimensions $n$ , es convertixen en les magnituts del producte esscalar i del producte exterior. Es pot escriure com

(a \cdot c) (b \cdot d) = (a \cdot d) (b \cdot c) + (a \land b) \cdot (c \land d)

a on $a$ , $b$ , $c$ i $d$ són vectores. També es pot escriure com una fòrmula que dona el producte escalar de dos productes exteriors, com

(a \land b) \cdot (c \land d) = (a \cdot c) (b \cdot d) - (a \cdot d) (b \cdot c),

que es pot escriure com

(a \times b) \cdot (c \times d) = (a \cdot c) (b \cdot d) - (a \cdot d) (b \cdot c)

en el cas $n = 3$ .

En el cas especial $a = c$ i $b = d$ , la fòrmula es convertix en

| a \land b |^{2} = | a |^{2} | b |^{2} - | a \cdot b |^{2} .

Quan tant $a$ com $b$ són vectores unitaris, s'obté la relació habitual

\sin^{2} ϕ = 1 - \cos^{2} ϕ

a on $φ$ és l'àngul entre els vectores.

Notació d'Einstein

Una relació entre els símbols de Levi-Cevita i la delta de Kronecker generalisada és

\frac{1}{k!} ε^{λ_{1} \dots λ_{k} μ_{k + 1} \dots μ_{n}} ε_{λ_{1} \dots λ_{k} ν_{k + 1} \dots ν_{n}} = δ_{ν_{k + 1} \dots ν_{n}}^{μ_{k + 1} \dots μ_{n}} .

La forma $(a \land b) \cdot (c \land d) = (a \cdot c) (b \cdot d) - (a \cdot d) (b \cdot c)$ de l'identitat de Binet-Cauchy es pot escriure com

\frac{1}{(n - 2)!} (ε^{μ_{1} \dots μ_{n - 2} α β} a_{α} b_{β}) (ε_{μ_{1} \dots μ_{n - 2} γ δ} c^{γ} d^{δ}) = δ_{γ δ}^{α β} a_{α} b_{β} c^{γ} d^{δ} .

Referències

↑ Eric W. Weisstein (2003). «Binet-Cauchy identity», CRC concise encyclopedia of mathematics, 2nd edició, CRC Press, p. 228. ISBN 1-58488-347-2.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Identidad de Binet-Cauchy» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Weisstein-1] Eric W. Weisstein (2003). «Binet-Cauchy identity», CRC concise encyclopedia of mathematics, 2nd edició, CRC Press, p. 228. ISBN 1-58488-347-2.

[1]