Desigualtat de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz

En matemàtiques, la desigualtat de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, també coneguda com a desigualtat de Schwarz, desigualtat de Cauchy o desigualtat de Cauchy-Schwarz, és una desigualtat que es troba en diverses àrees de la matemàtica, com l'àlgebra llineal, l'anàlisis matemàtic i la teoria de provabilitats.

La desigualtat per a sumes va ser publicada per Augustin Louis Cauchy (1821), mentres que la corresponent desigualtat per a integrals va ser establida per Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) i redescubierta per Hermann Amandus Schwarz (1888).

Desigualtat de Cauchy-Schwarz

Siga $V$ un espai vectorial complex en producte escalar. Els vectores $u,v\in V$, complixen la desigualtat de Cauchy-Schwarz.

$|(u,v){|}^2\le (u,u)(v,v)$

A on $(\cdot ,\cdot )$ és el producte escalar.

Demostració

Prengam la combinació de vectores $\lambda u-\mu v$, en $\lambda ,\mu \in ℂ$. El producte d'este vector per sí mateixa és sempre major o igual que zero, per les propietats del producte escalar.

$(\lambda u-\mu v,\lambda u-\mu v)\ge 0$

Aplicant la linealidad per la dreta del producte escalar, es pot desenrollar l'expressió anterior.

$|\lambda {|}^2(u,u)-\overline{\lambda }\mu (u,v)-\overline{\mu }\lambda (v,u)+|\mu {|}^2(v,v)\ge 0$

Esta desigualtat deu complir-se per a qualsevol valor dels escalares $\lambda$ i $\mu$. En particular, es complix per a $\lambda =(u,v)$,$\mu =(u,u)$. Substituint estos valors en la desigualtat i aplicant que $(u,u)\ge 0$ s'obté:

$|(u,v){|}^2(u,u)-2|(u,v){|}^2(u,u)+(u,u{)}^2(v,v)\ge 0$

I finalment:

$(u,u)(v,v)\ge |(u,v){|}^2$

Q.E.D

La desigualtat se satura (es torna igualtat) si i solament si els vectores són linealment dependents entre sí.

Cas Particular: Desigualtat en un espai vectorial $V$ sobre ${ℝ}^n$

Siguen $a_1,\mathrm{...},a_n$ i $b_1,\mathrm{...},b_n$ número real qualssevol.

Demostració

Una suma de quadrats no pot ser mai negativa. Per lo tant tenim lo següent:

$\sum _{k=1}^n(a_{k}x+b_k{)}^2=\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^2\right)x^2+2\left(\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\right)x+\sum _{k=1}^n{b}_k^2\ge 0$

per a tot número real $x$; i es complix l'igualtat si i només si cada terme de la suma ($a_{k}x+b_k$, per a tot k) és igual a zero.

Esta desigualtat pot escriure's en la forma:

$A{x}^2+2Bx+C\ge 0$

a on:

$A=\sum _{k=1}^n{a}_k^2,B=\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k,C=\sum _{k=1}^n{b}_k^2$

L'equació anterior determina un polinomi quadràtic que no podrà tindre dos raïls reals perque sempre és major o igual que 0. Per lo tant el seu discriminante deu ser menor o igual que zero:

$\Delta =(2B{)}^2-4AC=4(B^2-AC)\le 0,$

Per lo tant:

$B^2\le AC$, i esta és la desigualtat de Cauchy-Schwarz.

Utilisant notació vectorial, la desigualtat de Cauchy-Schwarz pren la forma: $(a\cdot b{)}^2\le {\Vert a\Vert }^2{\Vert b\Vert }^2$

a on

$a=(a_1,\mathrm{...},a_n),b=(b_1,\mathrm{...},b_n)$ són dos vectores n-dimensionals, $a\cdot b=\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k$ és el seu producte escalar i $\Vert a\Vert =\sqrt[]{(a\cdot a)}$ és la norma de a.

Curiositats

• La desigualtat de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz es pot provar en un cas particular de la Desigualtat de Hölder, en p = q = 2.

• La desigualtat de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz es pot provar en un cas particular de l'Identitat de Lagrange, inclús per al cas dels número complejo.
• La desigualtat de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz s'usa per a provar que el producte escalar és una funció contínua sobre la topología induïda pel mateix producte escalar.
• La desigualtat de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz s'usa per a provar la desigualtat de Bessel.
• La formulació general del principi d'incertitut de Heisenberg es deriva usant la desigualtat de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz sobre el producte escalar definit en l'espai de les funcions d'ona físiques.

Vore també

• Desigualtat de Minkowski
• Desigualtat de Hölder

Bibliografia

• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4