Joc de Banach-Mazur

En topología general, la teoria de conjunts i la teoria de jocs, un joc de Banach–Mazur és un joc topològic jugat per dos jugadors, tractant de precisar els elements d'un conjunt (espai). El concepte d'un joc Banach–Mazur està estretament relacionat en el concepte d'espai de Baire. Este joc va ser el primer joc posicional infinit d'informació perfecta que es va estudiar. Va ser introduït per Stanisław Mazur com el problema 43 del llibre escocés, i Banach va respondre a les preguntes de Mazur al respecte.

Definició

Siga $Y$ ser un espai topològic no buit, $X$ un subconjunt fix de $Y$ i $𝒲$ una família de subconjunts de $Y$ que tenen les següents propietats:

• Cada membre de $𝒲$ té interior no buit.
• Cada subconjunt obert no buit de $Y$ conté un membre de $𝒲$.

Els jugadors, $P_1$ i $P_2$ elegir alternativament elements de $𝒲$ per a formar una seqüència $W_0\supseteq W_1\supseteq \cdots .$

$P_1$ gana si i solament si

$X\cap \left(\bigcap _{n<\omega }{W}_n\right)\ne \mathrm{\varnothing }.$

D'una atra manera, $P_2$ gana. A açò se li crida un joc general de Banach-Mazur i es denota per $MB(X,Y,𝒲).$

Propietats

• $P_2$ té una estratègia guanyadora si i solament si $X$ és de la primera categoria en $Y$ (un conjunt és de la primera categoria o escàs si és l'unió contable de conjunts densos en ninguna parte).
• Si $Y$ és un espai mètric complet, $P_1$ té una estratègia guanyadora si i solament si $X$ és comeager en algun subconjunt obert no buit de $Y.$
• Si $X$ té la propietat de Baire en $Y$, llavors $MB(X,Y,𝒲)$ està determinat.
• Els espais tamisables i fortament tamisables introduïts per Choquet es poden definir en térmens d'estratègies estacionarias en modificacions adequades del joc. Deixar $BM(X)$ denota una modificació de $MB(X,Y,𝒲)$ a on $X=Y,𝒲$ és la família de tots els conjunts oberts no buits en $X$ i $P_2$ gana un joc $(W_0,W_1,\cdots )$ si i solament si ${\cap }_{n<\omega }{W}_n\ne \mathrm{\varnothing }.$

Llavors $X$ és tamisable si i solament si $P_2$ té una estratègia guanyadora estacionaria en $BM(X).$

• Una estratègia guanyadora de Markov per a $P_2$ en $BM(X)$ pot reduir-se a una estratègia guanyadora estacionaria. Ademés, si $P_2$ té una estratègia guanyadora en $BM(X)$, llavors $P_2$ té una estratègia guanyadora que depén solament de dos moviments anteriors. Encara és una qüestió sense resoldre si una estratègia guanyadora per a $P_2$ pot reduir-se a una estratègia guanyadora que depén només dels dos últims moviments de $P_1$.
• $X$ es diu débilmente $\alpha$-favorable si $P_2$ té una estratègia guanyadora en $BM(X)$. Llavors, $X$ és un espai de Baire si i solament si $P_1$ no té una estratègia guanyadora en $BM(X)$. D'això es deduïx que cada dèbil $\alpha$-favorable és un espai de Baire.

El cas especial més comú sorgix quan $Y=J=[0,1]$ i $𝒲$ consten de tots els intervals tancats en l'interval unitari. Llavors $P_1$ gana si i solament si $X\cap ({\cap }_{n<\omega }{J}_n)\ne \mathrm{\varnothing }$ i $P_2$ gana si i solament si$X\cap ({\cap }_{n<\omega }{J}_n)=\mathrm{\varnothing }$. Este joc es denota per $MB(X,J).$

Referències

• [1957] Oxtoby, J.C. The Banach–Mazur game and Banach category theorem, Contribution to the Theory of Games, Volume III, Annals of Mathematical Studies 39 (1957), Princeton, 159–163
• [1987] Telgársky, R. J. Topological Games: On the 50th Anniversary of the Banach–Mazur Game, Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), pp. 227–276.

• [2003] Julian P. Revalski The Banach–Mazur game: History and recent developments, Seminar notes, Pointe-a-Pitre, Guadeloupe, France, 2003–2004