Joc topològic

Un joc topològic és un joc infinit d'informació perfecta jugat entre dos jugadors en un espai topològic. Els jugadors elegixen objectes en propietats topològiques com a punts, conjunts oberts, conjunts tancats i cobertes obertes. El temps és generalment discret, pero les obres poden tindre una duració transfinita i s'han propost extensions al temps continu. Les condicions per a que un jugador guanye poden involucrar nocions com el tancament topològic i la convergència.

Resulta que algunes construccions topològiques fonamentals tenen una contraparte natural en els jocs topològics; eixemples d'estos són la propietat de Baire, espais de Baire, propietats de completitud i convergència, propietats de separació, propietats de cobertura i base, imàgens contínues, conjunts de Suslin i espais singulars. Al mateix temps, algunes propietats topològiques que sorgixen naturalment en els jocs topològics poden generalisar-se més allà d'un context de teoria de jocs: en virtut d'esta dualitat, els jocs topològics s'han utilisat àmpliament per a descriure noves propietats dels espais topològics i per a posar propietats conegudes baix una llum diferent. També existixen estrets vínculs en els principis de selecció.

El terme jugue topològic va ser introduït per primera volta per Claude Berge,^[1]^[2]^[3] qui va definir les idees bàsiques i el formalisme en analogia en els grups topològics. Un significat diferent per al joc topològic, el concepte de “propietats topològiques definides per jocs”, va ser introduït en el treball de Rastislav Telgársky,^[4] i més tarde “espais definits per jocs topològics”;^[5] este enfocament es basa en analogia en jocs matriciales, jocs diferencials i jocs estadístics, i definix i estudia jocs topològics dins de la topología. Despuix de més de 35 anys, el terme “jugue topològic” es va generalisar i va aparéixer en varis centenars de publicacions. El treball d'enquesta de Telgársky^[6] emfatisa l'orige dels jocs topològics del joc de Banach–Mazur.

Hi ha atres dos significats de jocs topològics, pero estos s'usen en menys freqüència:

El terme jugue topològic introduït per Leon Petrosjan^[7] en l'estudi dels jocs antagónicos de persecució-evasió. Les trayectòries en estos jocs topològics són contínues en el temps.
Els jocs de Nash (Hex), els jocs de Milnor (I (joc)), els jocs de Shapley (jocs de plans proyectivos) i els jocs de Gale (jocs de Bridg-It) varen ser cridats jocs topològics per David Gale en el seu discurs (1979/80). El número de moviments en estos jocs sempre és finito. El descobriment o redescubrimiento d'estos jocs topològics es remonta als anys 1948-1949.

Configuració bàsica per a un joc topològic

Es poden definir molts marcs per a infinits jocs posicionals d'informació perfecta.

La configuració típica és un joc entre dos jugadors, I i II, que alternativament arrepleguen subconjunts d'un espai topològic X. En la nª ronda, el jugador I juga un subconjunt I_n de X, i el jugador II respon en un subconjunt J_n. Hi ha una ronda per a cada número natural n, i en acabant de que es juguen totes les rondes, el jugador I gana si la seqüència

I₀, J₀, I₁, J₁,...

satisfà alguna propietat i, de lo contrari, el jugador II gana.

El joc està definit per la propietat objectiu i els moviments permesos en cada pas. Per eixemple, en el joc de Banach–Mazur BM ( X ), els moviments permesos són subconjunts oberts no buits del moviment anterior, i el jugador I gana si $⋂_{n} I_{n} \neq \emptyset$ .

Esta configuració típica es pot modificar de vàries formes. Per eixemple, en lloc de ser un subconjunt de X, cada moviment pot consistir en un parell $(I, p)$ a on $I \subset X$ i $p \in x$ . Alternativament, la seqüència de moviments pot tindre una llongitut d'algun número ordinal distint de ω₁.

Definicions i notació

Una partida del joc és una seqüència de moviments llegals.

I₀, J₀, I₁, J₁,...

El resultat d'una jugada és una victòria o una pèrdua per a cada jugador.

Una estratègia per al jugador P és una funció definida sobre cada seqüència finita llegal de moviments de l'oponent de P. Per eixemple, una estratègia per al jugador I és una funció s a partir de seqüències (J₀, J₁,..., J_n) per a subconjunts de X. Es diu que un joc es juga de acort en l'estratègia s si cada moviment del jugador P és el valor de s en la seqüència de moviments anteriors del seu oponent. Llavors, si s és una estratègia per al jugador I, el joc

s (λ), J_{0}, s (J_{0}), J_{1}, s (J_{0}, J_{1}), J_{2}, s (J_{0}, J_{1}, J_{2}), \dots

és de acort en l'estratègia s. (Ací λ denota la seqüència buida de moviments).

Es diu que una estratègia per al jugador P és guanyadora si per cada jugada d'acort en l'estratègia s resulta en una victòria per al jugador P, per qualsevol seqüència de moviments llegals de l'oponent de P. Si el jugador P té una estratègia guanyadora per al joc G, açò es denota $P ↑ G$ . Si algun dels jugadors té una estratègia guanyadora per a G, llavors es diu que G està determinat. Se seguix de l'axioma d'elecció que hi ha jocs topològics no determinats.
Una estratègia per a P és estacionaria si depén només de l'últim moviment de l'oponent de P; una estratègia és Markov si depén tant de l'últim moviment de l'oponent com del número ordinal del moviment.

El joc Banach – Mazur

Artícul principal → Jugue de Banach-Mazur.

El primer joc topològic estudiat va ser el joc de Banach-Mazur, que és un eixemple motivador de les conexions entre les nocions de la teoria de jocs i les propietats topològiques.

Siga I un espai topològic i siga X un subconjunt de I, denominat conjunt guanyador. El jugador I comença el joc elegint un subconjunt obert no buit $I_{0} \subset Y$ , i el jugador II respon en un subconjunt obert no buit $J_{0} \subset I_{0}$ . El joc continua d'esta manera, i els jugadors elegixen alternativament un subconjunt obert no buit del joc anterior. Despuix d'una seqüència infinita de moviments, un per a cada número natural, el joc termina i yo guanye si i solament si

X \cap ⋂_{n \in ω} I_{n} \neq \emptyset .

Les conexions topològiques i teòriques del joc demostrades pel joc inclouen:

II té una estratègia guanyadora en el joc si i solament si X és de la primera categoria en I (un conjunt és de la primera categoria o escàs si és l'unió contable de conjunts densos en ninguna parte).

Si I és un espai mètric complet, a continuació, que té una estratègia guanyadora si i només si X és comeagre en algun subconjunt obert no buit de S.
Si X té la propietat de Baire en I, llavors el joc està determinat.

Vore també

Rompecabezas topològic

Referències

↑ C. Berge, Topological games with perfect information. Contributions to the theory of games, vol. 3, 165–178. Annals of Mathematics Studies, no. 39. Princeton University Press, Princeton, N. J., 1957.
↑ C. Berge, Théorie dones jeux à n personnes, Mém. dones Sc. Mat., Gauthier-Villars, Paris 1957.
↑ A. R. Pears, On topological games, Proc. Cambridge Philos. Soc. 61 (1965), 165–171.
↑ R. Telgársky, On topological properties defined by games, Topics in Topology (Proc. Colloq. Keszthely 1972), Colloq. Math. Soc. János Bolyai, Vol. 8, North-Holland, Amsterdam 1974, 617–624.
↑ R. Telgársky, Spaces defined by topological games, Fund. Math. 88 (1975), 193–223.
↑ R. Telgársky, "Topological Games: On the 50th Anniversary of the Banach-Mazur Game", Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), 227–276.
↑ L. A. Petrosjan, Topological games and their applications to pursuit problems. I. SIAM J. Control 10 (1972), 194–202.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Juego topológico» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] C. Berge, Topological games with perfect information. Contributions to the theory of games, vol. 3, 165–178. Annals of Mathematics Studies, no. 39. Princeton University Press, Princeton, N. J., 1957.

[2] C. Berge, Théorie dones jeux à n personnes, Mém. dones Sc. Mat., Gauthier-Villars, Paris 1957.

[3] A. R. Pears, On topological games, Proc. Cambridge Philos. Soc. 61 (1965), 165–171.

[4] R. Telgársky, On topological properties defined by games, Topics in Topology (Proc. Colloq. Keszthely 1972), Colloq. Math. Soc. János Bolyai, Vol. 8, North-Holland, Amsterdam 1974, 617–624.

[5] R. Telgársky, Spaces defined by topological games, Fund. Math. 88 (1975), 193–223.

[Telgarsky-1987-6] R. Telgársky, "Topological Games: On the 50th Anniversary of the Banach-Mazur Game", Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), 227–276.

[7] L. A. Petrosjan, Topological games and their applications to pursuit problems. I. SIAM J. Control 10 (1972), 194–202.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]