Massa electromagnètica

La massa electromagnètica d'un sistema designa la contribució de les interacciones electromagnètiques a la seua inèrcia. Es tracta d'un concepte clàssic que va ser introduït per primera volta en 1881 per Joseph J. Thomson^[1]Plantilla:,.^[2] La massa electromagnètica constituïx, de la mateixa manera que l'inductància o la força de Abraham-Lorentz, un fenomen d'auto-interacció, en la mida en que un cos carregat interactua en el seu propi camp electromagnètic. S'expressa en quilograms (kg) en el Sistema Internacional d'Unitats (SI).

Orige físic

Abans del sigle XIX, es pensava que la massa d'un cos (és dir, la seua resistència a l'acceleració) estava únicament relacionada en la cantitat de matèria que contenia. No obstant, les lleis del electromagnetisme clàssic mostren que dos cossos que contenen la mateixa cantitat de matèria poden presentar masses diferents.

Demostració

Per a ilustrar açò, podem considerar un sistema constituït per dos càrregues elèctriques puntuals q1 i q2 separades per una distancia r.

Archiu:Ley de Coulomb.jpg

Quan este sistema està en repòs, les forces elèctriques mútues entre les dos càrregues són iguals i opostes (llei de Coulomb), lo que implica que la resultant d'estes forces és nula. Si, a continuació, s'impon al conjunt del sistema una acceleració $\vec{a}$ dirigida cap a la dreta (mantenint constant la distancia r entre les dos càrregues), ya no ocorre lo mateix:^[3] en efecte, el camp elèctric produït per cada càrrega no es propaga en l'espai de manera instantànea, sino a la velocitat de la llum (c = 299 792 458 m/s), per lo que la força que sofrix cada càrrega ya no depén de la posició actual de l'atra càrrega, sino de la seua posició retardada (t' = t - r/c). Per això, la força eixercida per q2 sobre q1 es torna llaugerament més fort que la força eixercida per q1 sobre q2. Este desequilibri conduïx a l'aparició d'una força total Fauto que actua sobre el conjunt del sistema. Esta força està dirigida cap a l'esquerra i tendix per tant a opondre's a l'acceleració.

Archiu:Masse d'interaction llongitudinale.png

Per a calcular Fauto, devem calcular la força elèctrica eixercida per cada càrrega sobre l'atra, tenint en conte els efectes de retardo en la propagació del camp elèctric. Per a això podem utilisar la relació F = q I i calcular el camp elèctric I creat per cada càrrega usant el model de Darwin, que permet aproximar l'expressió dels camps fins a l'orde 1/c² en règim cuasi-estacionario.^[4] L'expressió general del camp I és:

$𝐄 = \frac{q}{4 π ε_{0}} (\frac{𝐧}{r^{2}} - \frac{𝐚 + (𝐚 \cdot 𝐧) 𝐧}{2 c^{2} r})$

en la que totes les magnituts expressades són instantànees (és dir, considerades en l'instant present t). El primer terme d'esta equació representa el camp culombiano, i el segon és un terme correctivo, provocat per l'acceleració de les càrregues, que té en conte precisament els efectes de retardo.

Com s'ha mencionat anteriorment, el primer terme, encara que molt major en amplitut que el segon, conduïx a forces iguals i opostes. En canvi, el terme lligat a l'acceleració pot produir forces que no són iguals i opostes. En calcular la força total Fauto que actua sobre el sistema, s'obté:^[3]

{\vec{F}}_{a u t o} = {\vec{F}}_{1 \to 2} + {\vec{F}}_{2 \to 1} = - \frac{2 q_{1} q_{2} \vec{a}}{4 π ε_{0} c^{2} r}

La força total obtinguda és proporcional a $\vec{a}$ i aumenta la resistència del sistema a l'acceleració. Per això, pot considerar-se que aumenta la massa del sistema, sent la variació de massa Δm donada (utilisant la segona llei de Newton) per:^[3]

$Δ m = \frac{F_{a u t o}}{a}$

Denominant esta variació de massa la "massa electromagnètica d'interacció" de les dos càrregues, s'obté:^[3]

m_{e l e c} = \frac{F_{a u t o}}{a} = \frac{2 q_{1} q_{2}}{4 π ε_{0} c^{2} r}

Note's que si les carregues q1 i q2 són del mateix signe, la massa electromagnètica obtinguda és positiva (es parla llavors de excés de massa), mentres que si les carregues q1 i q2 són de signes oposts, la massa electromagnètica és negativa (es parla llavors de defecte de massa).

Denotant respectivament per m1 la massa de la carrega q1, per m2 la massa de la carrega q2, i per M_tot la massa total del sistema {q1+q2}, s'obté finalment:

M_{t o t} = m_{1} + m_{2} + \frac{2 q_{1} q_{2}}{4 π ε_{0} c^{2} r}

Conclusió: Les lleis del electromagnetisme clàssic mostren que les interaccions a distància entre partícules carregades poden incidir en la massa global d'un sistema, lo que implica que l'inèrcia d'un cos no depén únicament de la cantitat de matèria que conté. L'aparició d'una massa d'interacció és causada per la finitud de la velocitat a la que es propaguen els camps en l'espai (c). Aixina, un condensador carregat serà per eixemple més massiu que el mateix condensador sense càrrega, encara que abdós estiguen constituïts pel mateix número exacte de partícules i no hi haja hagut intercanvi de matèria en l'exterior.

A finals del sigle XIXⁱ, alguns físics varen aplegar inclús a propondre l'idea de que la massa «mecànica» no existia i que el 100 % de la massa dels cossos era en realitat d'orige electromagnètic. No obstant, una hipòtesis d'este tipo implica, per eixemple, tindre que considerar al electró i a les demés partícules elementals com una distribució esfèrica de càrrega, alguna cosa que és impossible acceptar sense un coneiximent detallat de l'estructura interna d'estes partícules Ademés, hui se sap que unes atres interaccions de la naturalea, com la gravitació i l'interacció nuclear forta, també poden influir en la massa dels cossos (els defectes de massa nuclears són un eixemple d'això).

Configuració travessera

Archiu:Force d'auto-interaction en configuration transverse.png

Força de autointeracción d'un sistema de dos càrregues en configuració travessera (θ = 90°)

Considerant ara la situació en la que l'acceleració $\vec{a}$ del sistema de dos càrregues puntuals és ortogonal a l'eix del parell de càrregues (θ = 90°), s'obté per a la força d'auto-interacció^[3]Plantilla:,^[5]:

F_{a u t o} = \frac{q_{1} q_{2} a}{4 π ε_{0} c^{2} r}

lo que implica:

m_{e l e c} = \frac{q_{1} q_{2}}{4 π ε_{0} c^{2} r}

La massa d'interacció obtinguda és dos voltes menor que en el cas llongitudinal.

Orientació arbitrària

Si l'eix del parell de càrregues forma un àngul θ qualsevol en el vector acceleració $\vec{a}$ , la massa electromagnètica d'interacció de les dos càrregues és:^[3]

m_{e l e c} = \frac{q_{1} q_{2}}{4 π ε_{0} c^{2} r} (1 + \cos^{2} θ)

a on el factor (1 + cos² θ) pot variar entre 1 i 2.

Aparició d'una força ortogonal a l'acceleració

Archiu:Force d'auto-interaction d'un système de deux charges pour un angle quelconque.png

Forças de autointeracción d'un sistema de dos càrregues elèctriques en acceleració per a un àngul θ qualsevol

Quan θ no és igual ni a 0° ni a 90°, també apareix una força de autointeracción perpendicular a l'acceleració ( $F_{⊥}$ ), ademés de la força colineal en l'acceleració:^[3]

F_{⊥} = \frac{q_{1} q_{2} a}{4 π ε_{0} c^{2} r} \cos (θ) \sin (θ)

No obstant, solament $F_{∥}$ pot considerar-se com una contribució a l'inèrcia del sistema. Recordem que:

F_{∥} = \frac{q_{1} q_{2} a}{4 π ε_{0} c^{2} r} (1 + \cos^{2} θ)

$F_{⊥}$ alcança el seu valor màxim quan θ = 45°. Açò pot comprovar-se utilisant l'identitat trigonométrica:

\cos (θ) \sin (θ) = \frac{1}{2} \sin (2 θ)

sense(2θ) alcança el seu valor màxim per a θ = 45°.

Eixemples

Defecte de massa de l'àtom d'hidrogen

Archiu:Hydrogen-10.svg

Àtom d'hidrogen

Un àtom d'hidrogen està constituït per dos partícules de càrregues elèctriques opostes (un protón i un electró) en interacció. Les masses respectives d'un protó i un electró aïllats són:

m_{p} = 1,672621924 \times 1 0^{- 27} k g

m_{e} = 9,109383702 \times 1 0^{- 31} k g

Si es calcula la suma d'estes dos masses, s'obté:

m_{p} + m_{e} = 1,673532862 \times 1 0^{- 27} k g

No obstant, la massa real (experimental) d'un àtom d'hidrogen és:

m_{H} = 1,673532838 \times 1 0^{- 27} k g

S'obté:

m_{H} < m_{p} + m_{e}

La diferència entre les dos masses (el defecte de massa) és:

Δ m = 2,4 \times 1 0^{- 35} k g

Este defecte de massa és precisament la massa electromagnètica d'interacció (en este cas negativa) entre el protó i l'electró. És aproximadament 100 millons de voltes menor que la massa total de l'àtom d'hidrogen.

Notes i referències

↑ Joseph John Thomson, On the Electric and Magnetic Effects produced by the Motion of Electrified Bodies, Philosophical Magazine. 5. Vol. 11, no. 68. pp. 229–249, 1881
↑ Kirk T. McDonald, On the History of the Radiation Reaction, Princeton University (2017), Partix 6 : J.J. Thomson and Electromagnetic Mass
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 ^3,6 David J. Griffiths, Russell E. Owen, Mass renormalization in classical electrodynamics, Am. J. Phys. 51, 1120–1126 (1983)
↑ Jonas Larsson, Electromagnetics from a quasistatic perspective, Deparment of Physics, Umea University, SE-90187 Umea, Sweden, 2006
↑ Timothy H. Boyer, Electrostatic potential energy leading to an inertial mass change for a system of two point charges, Am. J. Phys. 46, 383–385 (1978)

Vore també

[[Archiu:{{#switch:física|20px|Vore el portal sobre física]] Portal:física. Contingut relacionat en física.

Este artícul conté una traducció derivada de «Masa electromagnética» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Joseph John Thomson, On the Electric and Magnetic Effects produced by the Motion of Electrified Bodies, Philosophical Magazine. 5. Vol. 11, no. 68. pp. 229–249, 1881

[2] Kirk T. McDonald, On the History of the Radiation Reaction, Princeton University (2017), Partix 6 : J.J. Thomson and Electromagnetic Mass

[Griffiths&Owen-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 ^3,6 David J. Griffiths, Russell E. Owen, Mass renormalization in classical electrodynamics, Am. J. Phys. 51, 1120–1126 (1983)

[4] Jonas Larsson, Electromagnetics from a quasistatic perspective, Deparment of Physics, Umea University, SE-90187 Umea, Sweden, 2006

[5] Timothy H. Boyer, Electrostatic potential energy leading to an inertial mass change for a system of two point charges, Am. J. Phys. 46, 383–385 (1978)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]