Material de Mooney-Rivlin

En mecànica de sòlits, un material del Mooney–Rivlin és un tipo de material hiperelástico modelisable per mig d'una funció densitat d'energia de deformació $W$ que és una combinació llineal de dos invariantes algebraics del tensor tensor deformació de Cauchy-Green esquerre $𝑩$. El model de Mooney-Rivlin va ser propost inicialment per Melvin Mooney en 1940 i va ser reformulat en térmens de invariantes algebraics per Ronald Rivlin en 1948.

La funció densitat d'energia de deformació per a un material de Mooney-Rivlin incompresible ve donada per:

a on $C_1$ i $C_2$ són constants que es determinen empíricamente per a cada material concret i ${\bar{I}}_1$ i ${\bar{I}}_2$ són el primer invariante (invariante llineal) i segon invariante (invariante quadràtic) del component unimodular del tensor de Cauchy-Green:

a on $𝑭$ és el gradient de deformació. Per a un material incompresible, $J=1$.

Derivació

El material de Mooney-Rivlin és un cas especial de "material de Rivlin generalisat" (també cridat model hiperelástico polinòmic) que té la forma:

en $C_{00}=0$ a on $C_{pq}$ són constants materials relacionades en la resposta front a distorsió o canvi de forma i $D_m$ són les constants elàstiques relacionades en el canvi de volum. Per a un material compresible de Mooney-Rivlin $N=1,C_{01}=C_2,C_{11}=0,C_{10}=C_1,M=1$ i es té:

Si $C_{01}=0$ s'obté un material neohookeano, un cas especial de material de Mooney-Rivlin. Per consistència en l'elasticitat llineal en el llímit de les chicotetes deformacions, és necessari que se satisfaça la condició:

a on $\kappa$ és el mòdul de compresibilidad i $\mu$ és el mòdul d'elasticitat travessera.

Tensor de tensions de Cauchy i invariantes de deformació

El tensor de tensions de Cauchy d'un material hiperelástico compresible que posseïx un estat natural (sense tensió) ve dau per:

Per a un material de Mooney-Rivlin compresible,

Per tant, el tensor de tensions de Cauchy d'un material de Mooney–Rivlin compresible ve dau per:

A partir de lo anterior pot demostrar-se, que la pressió ve donada per

La tensió pot expressar-se en la forma

L'anterior equació s'escriu freqüentment com:

a on:

$\overline{𝑩}=J^{-2/3}𝑩$

Per a un material de Mooney-Rivlin incompresible en $J=1$

Note's que si $J=1$ llavors:

Llavors, del teorema de Cayley-Hamilton se seguix que:

D'ahí es té que el tensor de tensions de Cauchy pot expressar-se també com:

a on $p^{*}:=\frac{2}{3}(C_1{I}_1-C_2{I}_2).$

Tensió d'en térmens de allargament principals

En térmens dels allargament principals, el tensor de tensions de Cauchy per a un material hiperelástico incompresible ve donada per:

per a un material de Mooney-Rivlin incompresible:

Per tant,

ya que ${\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=1$, es pot escriure com:

Llavors les expressions per al tensor de tensions de Cauchy s'expressen com:

Caucho

La resposta elàstica de materials de tipo goma o caucho es modeliza freqüentment com un material de Mooney—Rivlin model. Les constants $C_1,C_2$ es determinen experimentalment ajustant les senyes experimentals per mig de les equacions anteriors. Els ensajos recomanats són l'ensaig uniaxial de tracció, la compressió i tracció equibiaxiales, la compressió uniaxial, i per a la resposta de tallant la tracció i compressió planes. Els dos paràmetros del model de Mooney–Rivlin proporcionen respostes adequades per a deformacions inferiors al 100%.