Model autorregresivo

En estadística i processament de senyals, un model autorregresivo (AR) és una representació d'un procés aleatori, en el que la variable d'interés depén de les seues observacions passades. Específicament, la variable d'interés o d'eixida, depén linealmente dels seus valors anteriors. Per açò es diu que existix dependència llineal entre les distintes observacions de la variable.

Una forma d'entendre un model autorregresivo és un procés que després d'enfrontat a un destorbament tarda temps en retornar al seu equilibri de llarc determini. Suponga que la nostra variable d'interés és la producció de blat (en mils de tonellades) en una regió. En cada any, la producció de blat dependrà de les condicions del sol, la tecnologia agrícola disponible i les condicions climàtiques. Note's que entre un any i el següent, les condicions del sol i la tecnologia agrícola poden no canviar (o fer-ho de forma molt llenta) com para dramàticament afectar la producció de blat. Les condicions climàtiques, no obstant, poden canviar dramàticament d'un any a un atre. Es podria argumentar que, en la majoria dels anys (en promig) les condicions climàtiques són bones. Pero hi ha anys en els que una sequia es produïx. Es diu que eixa sequia és un destorbament: allunta la nostra variable (la producció de blat) del seu equilibri de llarc determini (equilibri en el que les condicions climàtiques són bones en promig). Com la tecnologia agrícola i les condicions del sol canvien llentament entre un any i un atre, la producció de blat en qualsevol any determinat estarà parcialment influïda per la producció en l'any anterior. L'atra influència en la producció de blat estarà donada pels destorbament, el clima.

El model autorregresivo es tracta d'un cas especial del més general model ARMA de séries de temps.

Definició

La notació AR(p) presenta un model autorregresivo d'orde p. El model AR(p) es definix com:

$X_t=c+\sum _{i=1}^p{\phi }_i{X}_{t-i}+{\epsilon }_t$

a on ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_p$ són els paràmetros del model, $c$ és una constant, i ${\epsilon }_t$ és Soroll blanc. Açò es pot escriure de manera equivalent usant l'operador de reculada B com

$X_t=c+\sum _{i=1}^p{\phi }_i{B}^i{X}_t+{\epsilon }_t$

de manera que, movent el terme sumatorio cap al costat esquerre i l'us de la notació polinòmica, tenim

$\varphi (B)X_t=c+{\epsilon }_t.$

Un model autorregresivo per lo tant es pot vore com l'eixida d'un tot- pol d'impulse resposta infinit filtre l'entrada del qual és soroll blanc.

Algunes llimitacions són necessaris en els valors dels paràmetros d'este model en la finalitat de que el model es manté estacionario en sentit ampli . Per eixemple, els processos AR(1) en el model |φ₁| ≥ 1 no són estacionarias. Generalisant, per a que un model AR(p) siga estacionario en sentit ampli, les raïls del polinomi $z^p-{\sum }_{i=1}^p{\phi }_i{z}^{p-i}$ deu estar dins del círcul unitari, és dir, cada raïl $z_i$ deu satisfer $|z_i|<1$.

Efecte intertemporal dels chocs

En un procés AR, un choc d'una sola volta afecta als valors de la variable evolució infinitament llunt en el futur. Per eixemple, considere el AR(1) $X_t=c+{\phi }_1{X}_{t-1}+{\epsilon }_t$. Un valor distint de zero per a ${\epsilon }_t$en el moment t = 1, afecta $X_1$ per la cantitat ${\epsilon }_1$. Ya que l'equació per a AR és recursiva, $X_2$ es troba en térmens de $X_1$, fent que el fenomen citat en anterioritat afecta a $X_2$ per la cantitat ${\phi }_1{\epsilon }_1$. A continuació, per l'equació, $X_3$ esta en térmens de $X_2$, lo que afecta per això a $X_3$ per la cantitat ${\phi }_1^2{\epsilon }_1$. Continuant este procés, es mostra que l'efecte de ${\epsilon }_1$ mai termina. Si el procés és estacionario, llavors l'efecte disminuïx cap a zero en el llímit.

Degut a que cada choc afecta als valors de X infinitament llunt en el futur des del moment en que es produïxen, qualsevol valor donat X_t és afectat per destorbament que ocorren infinitament llunt en el passat. Açò també es pot vore per mig de la reescritura de la autorregresión

$\varphi (B)X_t={\epsilon }_t$

A on el terme constant ha segut suprimit pel supòsit de que la variable s'ha medit com a desviacions de la seua mija

$X_t=\frac{1}{\varphi (B)}{\epsilon }_t.$

Quan la divisió polinòmica en el costat dret es porta a terme, el polinomi en l'operador aplica a ${\epsilon }_t$ , o siga, un número infinit de valors ressagats d'un infinit d'orde que ${\epsilon }_t$ apareixerà en el costat dret de l'equació.

Bibliografia Adicional

• Mills, Terence C. (1990) Clave Séries Techniques for Economists. Cambridge University Press
• Percival, Donald B. and Andrew T. Walden. (1993) Spectral Analysis for Physical Applications. Cambridge University Press
• Pandit, Sudhakar M. and Wu, Shien-Ming. (1983) Clave Séries and System Analysis with Applications. John Wiley & Sons
• Yule, G. Udny (1927) "On a Method of Investigating Periodicities in Disturbed Séries, with Special Reference to Wolfer's Sunspot Numbers", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Ser. A, Vol. 226, 267–298.]
• Walker, Gilbert (1931) "On Periodicity in Series of Related Terms", Proceedings of the Royal Society of London, Ser. A, Vol. 131, 518–532.