Model autorregresivo de mija mòvil

En estadística, els models autorregresivos de mija mòvil (en anglés AutoRegressive Moving Average models, abreviats ARMA), també cridats Models Box-Jenkins, s'apliquen a séries temporals de senyes.

Donada una série temporal de senyes X_t, el model ARMA és una ferramenta per a entendre i, encara més, per a predir futurs valors de la série. El model està format per dos parts, una part autorregresiva (AR) i una atra de mija mòvil (MA). El model es coneix en el nom de model ARMA (p,q), a on p és l'orde de la part autorregresiva i q és l'orde de la part de mija mòvil.

Model autorregresivo

La notació AR(p) es referix a un model autorregresivo d'orde p. Un model AR(p) pot escriure's com:

$X_t=c+\sum _{i=1}^p{\varphi }_i{X}_{t-i}+{ϵ}_t.$

a on ${\varphi }_1,\dots {\varphi }_p$ són els paràmetros del model, $c$ és una constant i ${ϵ}_t$ és un terme d'error. Molts autors ometen el terme constant en el propòsit de simplificar l'expressió de les demostracions.

Un model autorregresivo és essencialment un filtre de resposta infinita a l'impuls IIR, en determinada interpretació adicional.

Es deu tindre en conte que és necessari impondre certes restriccions als valors dels paràmetros d'este model per a que funcione correctament (procés estacionario). Per eixemple, en un model AR(1), si |φ₁| > 1 el model no tindrà un bon comportament.

Eixemple: Un procés AR(1)

Un procés AR(1) està donat per:

$X_t=c+\varphi X_{t-1}+{ϵ}_t,$

a on ${ϵ}_t$ és un procés de soroll blanc en mija zero i varianza ${\sigma }^2$. (Nota: El subíndex en ${\varphi }_1$ es va ometre.) El procés és de covarianza estacionaria si $|\varphi |<1$. Si $\varphi =1$, llavors $X_t$ té una raïl unitària. El càlcul de l'esperança de $X_t$ és directe. Assumint la covarianza estacionaria, tenim:

$\text{E}(X_t)=\text{E}(c)+\varphi \text{E}(X_{t-1})+\text{E}({ϵ}_t)\Rightarrow \mu =c+\varphi \mu +0$.

llavors:

$\mu =\frac{c}{1-\varphi },$

a on $\mu$ és la mija. La varianza és:

$\text{var}(X_t)=E(X_t^2)-{\mu }^2=\frac{{\sigma }^2}{1-{\varphi }^2}$

La funció de autocorrelación ve donada per:

$B_n=E(X_{t+n}{X}_t)-{\mu }^2=\frac{{\sigma }^2}{1-{\varphi }^2}{\varphi }^{|n|}$

Es pot vore que la funció de autocorrelación decreix en un interval d'afluixó de $\tau =-1/\ln (\varphi )$.

La funció de densitat espectral és la transformada de Fourier de la funció de autocorrelación. En térmens discrets, esta seria la transformada de Fourier de temps discret:

$\Phi (\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{B}_n{e}^{-i\omega n}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\left(\frac{{\sigma }^2}{1+{\varphi }^2-2\varphi \cos (\omega )}\right)$

Esta expressió conté aliasing per la naturalea discreta de $X_j$. Si assumim que l'interval de la mostra és molt menor que l'interval d'afluixó ($\tau \ll 1$), llavors podem utilisar una aproximació contínua a $B_n$:

$B(t)\approx \frac{{\sigma }^2}{1-{\varphi }^2}{\varphi }^{|t|}$

que dona un perfil Lorentzian per a la densitat espectral:

$\Phi (\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{{\sigma }^2}{1-{\varphi }^2}\frac{\gamma }{\pi ({\gamma }^2+{\omega }^2)}$

a on $\gamma =1/\tau$ és la freqüència angular associada en l'interval d'afluixó $\tau$.

Una expressió alternativa per a $X_t$ es pot obtindre substituyendo primer $c+\varphi X_{t-2}+{ϵ}_{t-1}$ per $X_{t-1}$ en l'equació de definició.

Continuant est processe N voltes, obtenim:

$X_t=c\sum _{k=0}^{N-1}{\varphi }^k+{\varphi }^N{X}_{t-N}+\sum _{k=0}^{N-1}{\varphi }^k{ϵ}_{t-k}$

Quan N tendix a infinit, ${\varphi }^N$ tendix a zero i:

$X_t=\frac{c}{1-\varphi }+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\varphi }^k{ϵ}_{t-k}$

Vore que $X_t$ és soroll blanc convolucionado en ${\varphi }^k$ més la constant de la mija. Pel teorema del llímit central, $X_t$ serà distribuït normalment com qualsevol mostra de $X_t$, que és més gran que l'interval d'afluixó de la funció de autocorrelación.

Model de miges mòvils

La notació MA(q) es referix a un model de mija mòvil d'orde q.

$X_t={\epsilon }_t+\sum _{i=1}^q{\theta }_i{\epsilon }_{t-i}$

a on θ₁, ..., θ_q són els paràmetros del model i ε_t, ε_t-1,... són, de nou, els térmens d'error.

Un model de miges mòvils és essencialment un filtre de resposta finita a l'impuls FIR, en certa interpretació adicional.

Referències

• Box, George E.P. 1976: and F.M. Jenkins. Clave Séries Analysis: Forecasting and Control, 2nd. ed. Oakland, CA: Holden-Day.