Número altament compost superior

Archiu:Divisor.svg

Funció divisor d(n) fins a n = 250

En matemàtiques, un número altament compost superior (SHCH per les seues sigles en anglés) és un número natural que té la relació més alta del seu número de divisibilidad en alguna potència positiva de sí mateixa que qualsevol atre número. És una restricció més forta que la de número altament compost, que es definix per tindre més divisores que qualsevol sancer positiu més menut.

Eixemples

Archiu:Highly composite numbers.svg

Gràfica del número de divisores d'número entero de l'1 al 1000. Els números altament composts estan etiquetats en negreta i els números altament composts superiors estan marcats en estreles. En el the SVG ficher, es pot passar el cursor sobre una barra per a vore les seues estadístiques

A continuació s'enumeren els primers 10 números altament composts superiors i el seu factorización.

# Factors cosins	SHCN n	Factorización prima	Exponents cosins	# Divisores d(n)		Factorización primorial
1	2	2	1	2	2	2
2	6	2 ⋅ 3	1,1	22	4	6
3	12	22 ⋅ 3	2,1	3×2	6	2 ⋅ 6
4	60	22 ⋅ 3 ⋅ 5	2,1,1	3×22	12	2 ⋅ 30
5	120	23 ⋅ 3 ⋅ 5	3,1,1	4×22	16	22 ⋅ 30
6	360	23 ⋅ 32 ⋅ 5	3,2,1	4×3×2	24	2 ⋅ 6 ⋅ 30
7	2520	23 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7	3,2,1,1	4×3×22	48	2 ⋅ 6 ⋅ 210
8	5040	24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7	4,2,1,1	5×3×22	60	22 ⋅ 6 ⋅ 210
9	55440	24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11	4,2,1,1,1	5×3×23	120	22 ⋅ 6 ⋅ 2310
10	720720	24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13	4,2,1,1,1,1	5×3×24	240	22 ⋅ 6 ⋅ 30030

Per a un número superior altament compost n existix un número real positiu ε tal que para tots els número natural k menors que n, es té que

$\frac{d(n)}{n^{\epsilon }}\ge \frac{d(k)}{k^{\epsilon }}$

i per a tots els número natural k majors que n es complix que

$\frac{d(n)}{n^{\epsilon }}>\frac{d(k)}{k^{\epsilon }}$

a on d(n), la funció divisor, denota el número de divisores de n. El terme va ser falcat per Srinivasa Ramanujan (1915).

Per eixemple, el número en més divisores sobre el valor de la seua raïl quadrada és 12; lo que es pot demostrar revisant els altament composts propencs a 12. $\frac{2}{2^{.5}}\approx 1.414,\frac{3}{4^{.5}}=1.5,\frac{4}{6^{.5}}\approx 1.633,\frac{6}{12^{.5}}\approx 1.732,\frac{8}{24^{.5}}\approx 1.633,\frac{12}{60^{.5}}\approx 1.549$

120 és un atre número altament compost superior perque té la proporció més alta de divisores sobre sí mateixa elevat a la potència 0,4. $\frac{9}{36^{.4}}\approx 2.146,\frac{10}{48^{.4}}\approx 2.126,\frac{12}{60^{.4}}\approx 2.333,\frac{16}{120^{.4}}\approx 2.357,\frac{18}{180^{.4}}\approx 2.255,\frac{20}{240^{.4}}\approx 2.233,\frac{24}{360^{.4}}\approx 2.279$

Els primers 15 números altament composts superiors, 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 Plantilla:OEIS són també els primers 15 números colosalmente abundants, que complixen condicions similars basades en la funció suma de divisores en lloc del número de divisores. No obstant, cap conjunt és un subconjunt de l'atre.

Propietats

Archiu:Euler diagram numbers with many divisors es.svg

Diagrama de Euler dels números menors de 100, classificats com abundants, abundants primitius, altamante abundants, superabundantes, colosalmente abundants, altament composts, altament composts superiors, estranys i perfectes en relació en la seua deficiència i composició de factors

Archiu:Prime powers in caps block 6 , caps block 7 es.svg

Factors de potències primeres

Tots els números altament composts superiors són altament composts. Açò és fàcil de provar: si hi ha algun número k que té el mateix número de divisores que n pero és menor que n (és dir, $d(k)=d(n)$, pero $k<n$), llavors $\frac{d(k)}{k^{\epsilon }}>\frac{d(n)}{n^{\epsilon }}$ para tot ε positiu, per lo que si un número n no és altament compost, no pot ser altament compost superior.

Una construcció efectiva del conjunt de tots els números altament composts superiors està donada per la següent aplicació monòtona dels número real positius. Anem

$e_p(x)=\lfloor \frac{1}{\sqrt[x]{p}-1}\rfloor$

per a qualsevol número primo p i real x positiu. Llavors

$s(x)=\prod _{p\in \mathbb{P}}{p}^{e_p(x)}$ és un número altament compost superior.

Tinga's en conte que el producte no necessita calcular-se indefinidament, perque si $p>2^x$ llavors $e_p(x)=0$, per lo que el producte per a calcular $s(x)$ pot cancelar-se una volta per $p\ge 2^x$.

També cal considerar que en la definició de $e_p(x)$, $1/x$ és anàlec a $\epsilon$ en la definició implícita d'un número altament compost superior.

Ademés, per a cada número altament compost superior $s^{\prime }$ existix un interval semiabierto $I\subset {ℝ}^{+}$ tal que $\mathrm{\forall }x\in I:s(x)=s^{\prime }$.

Esta representació implica que existix una seqüència infinita de ${\pi }_1,{\pi }_2,\dots \in \mathbb{P}$ tal que per al n-ésimo número altament compost superior $s_n$ es complix que

$s_n=\prod _{i=1}^n{\pi }_i$

Els primers són

${\pi }_i$

són 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, ... Plantilla:OEIS. En atres paraules, el cocient de dos números altament composts superiors successius és un número primo.

Bibliografia

• “Highly composite numbers” (1915). Proc. London Math. Soc. 14: 347–409. doi:10.1112/plms/s2_14.1.347. Reimpreso en Collective Papers (Ed. G. H. Hardy et al.), Nova York: Chelsea, pp. 78–129, 1962
• (2006) Handbook of number theory I, Dordrecht: Springer Science+Business Mija, pp. 45–46. ISBN 1-4020-4215-9.