Número superabundante

En matemàtiques, un número superabundante (o també sobreabundante, a voltes abreviat com SA) és un cert tipo de número natural. Un número natural n es diu superabundante precisament quan,^[1] per a tot m < n

\frac{σ (m)}{m} < \frac{σ (n)}{n}

a on σ denota la funció suma de divisores (és dir, la suma de tots els divisores positius de n, inclós el mateix n). Els primers números superabundantes són 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, ... Plantilla:OEIS. Per eixemple, el número 5 no és un número sobreabundante perque per a 1, 2, 3, 4 i 5, el sigma és 1, 3, 4, 7, 6; i es comprova que 7/4 > 6/5.

Els números superabundantes varen ser definits per Leonidas Alaoglu i Paul Erdős (1944). No obstant, Alaoglu i Erdős desconeixien unes 30 pàgines suprimides de l'artícul del matemàtic indi Ramanujan de 1915 titulat "Números altament composts". Eixes pàgines finalment es varen publicar en The Ramanujan Journal 1 (1997), 119–153. En la secció 59 d'eixe document, Ramanujan definia els números altament composts generalisats, que inclouen els números superabundantes.

Propietats

Archiu:Euler diagram numbers with many divisors es.svg

Diagrama de Euler dels números menors de 100, classificats com abundants, abundants primitius, altamante abundants, superabundantes, colosalmente abundants, altament composts, altament composts superiors, estranys i perfectes en relació en la seua deficiència i composició de factors

Leonidas Alaoglu i Paul Erdős (1944) varen demostrar que si n és superabundante, llavors existix una k i un conjunt de a₁, a₂, ..., a_k tals que

n = \prod_{i = 1}^{k} (p_{i})^{a_{i}}

a on p_i és el i-ésimo número primo, i

a_{1} \geq a_{2} \geq \dots \geq a_{k} \geq 1.

És dir, varen provar que si n és superabundante, la descomposició en cosins de n té exponents no creixents (l'exponent d'un cosí major mai és major que el d'un cosí menor) i que tots els cosins que se sumen a $p_{k}$ són factors de n. Llavors, en particular, qualsevol número superabundante és un número entero parell, i és un múltiple del k-ésimo primorial $p_{k} # .$

De fet, l'últim exponent a_k és igual a 1 llevat quan n és 4 o 36.

Els números superabundantes estan estretament relacionats en els números altament composts. No tots els números superabundantes són números altament composts. De fet, solament 449 números superabundantes i altament composts són el mateix Plantilla:OEIS. Per eixemple, 7560 és altament compost pero no superabundante. Pel contrari, 1163962800 és superabundante pero no altament compost.

Alaoglu i Erdős varen observar que tots els números superabundantes són altament abundants.

No tots els números superabundantes són números de Harshad. La primera excepció és el número 105 dels superabundantes, 149602080797769600. La suma dels seus dígits és 81, pero 81 no és divisor d'este número superabundante.

Els números superabundantes també són d'interés en relació en la hipòtesis de Riemann, i en el teorema de Robins per a que l'hipòtesis de Riemann siga equivalent a l'afirmació de que

\frac{σ (n)}{e^{γ} n \log \log n} < 1

per a tot n major que l'excepció més gran coneguda, el número superabundante 5040. Si esta desigualtat té un contraeixemple més gran, demostrant que l'hipòtesis de Riemann és falsa, este contraeixemple més chicotet deu ser un número superabundante Plantilla:Harv.

No tots els números superabundantes són colosalmente abundants.

Generalisació

Els números $k$ -superabundantes generalisats són aquells tals que $\frac{σ_{k} (m)}{m^{k}} < \frac{σ_{k} (n)}{n^{k}}$ para tot $m < n$ , a on $σ_{k} (n)$ és la suma de les $k$ -ésimas potències dels divisores de $n$ .

Els números 1-súper abundants són els números superabundantes. Els números 0-súperabundantes són els números altament composts.

Per eixemple, els números 2-súperabundantes generalisats són 1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240, … (A208767 en OEIS)

Referències

↑ József Sándor, Dragoslav S. Mitrinovic, Borislav Crstici (2005). Handbook of Number Theory I, Springer Science & Business Media, pp. 111 de 622. ISBN 9781402042157.

Bibliografia

(2006).«Abundant numbers and the Riemann hypothesis».Experimental Mathematics.15

251–256..

(2009).«Superabundant numbers and the Riemann hypothesis».American Mathematical Monthly.116(3)

273–275.doi:10.4169/193009709X470128..

(1944).«On highly composite and similar numbers».Transactions of the American Mathematical Society.American Mathematical Society.56(3)

448–469.doi:10.2307/1990319..

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Número superabundante» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[JSDSMBC-1] József Sándor, Dragoslav S. Mitrinovic, Borislav Crstici (2005). Handbook of Number Theory I, Springer Science & Business Media, pp. 111 de 622. ISBN 9781402042157.

[1]