Número amigable

En teoria de números, número amigable (o també números amistosos) són dos o més número natural en un índex d'abundància comuna, és dir, en el mateix cocient entre la suma dels divisores del número $σ (n)$ i el propi número $n$ :

Es diu que dos número natural $a$ i $b$ són "amigables" si es complix que: $\frac{σ (a)}{a} = \frac{σ (b)}{b}$

A pesar de l'aparent simplicitat del concepte, encara queden sense resoldre varis problemes relacionats en els número amigable.

Definicions

Dos números en el mateix índex d'abundància formen una parella amigable, i n números en el mateix índex d'abundància formen una n-tupla amigable.

Ser mútuament amigable és un relació d'equivalència i, per lo tant, induïx una partició dels número natural positius en clubs (classes d'equivalència) de números mútuament amigables entre sí.

Un número que no forma part de cap parell amigable es diu solitari.

El índex d'abundància de n és el número racional σ(n) / n, en el que σ denota la funció suma dels divisores. Un número n és un número amistós si existix m ≠ n tal que σ(m) / m = σ(n) / n. El índex d'abundància no és lo mateix que la abundància, que es definix com σ(n) − 2n.

El índex d'abundància també es pot expressar com $σ_{- 1} (n)$ , a on $σ_{k}$ denota una funció divisor en $σ_{k} (n)$ igual a la suma de les potencies k-ésimas dels divisores de n.

A pesar de la similitut dels noms, no existix una relació específica entre els número amigable i els números amics o els números sociables, encara que les definicions dels dos últims també involucren la funció divisor.

Eixemples

Els números de l'1 al 5 són tots solitaris. El número amigable més chicotet és 6, i forma una parella de números amigables en 28, ya que abdós tenen el mateix índex d'abundància: σ(6) / 6 = (1+2+3+6) / 6 = 2, el mateix valor que σ (28) / 28 = (1+2+4+7+14+28) / 28 = 2. El valor compartit 2 és un número entero en este cas, pero no en molts atres casos. Els números en índex d'abundància 2 també es coneixen com els número perfecte.

Com un atre eixemple, 30 i 140 formen un parell amigable perque 30 i 140 tenen el mateix índex d'abundància:

\frac{σ (30)}{30} = \frac{1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 + 30}{30} = \frac{72}{30} = \frac{12}{5}

\frac{σ (140)}{140} = \frac{1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 10 + 14 + 20 + 28 + 35 + 70 + 140}{140} = \frac{336}{140} = \frac{12}{5} .

Els números 2480, 6200 i 40640 també són membres d'este club, ya que cada u té un índex d'abundància igual a 12/5.

Per a vore un eixemple de números impars amigables, consideren-se 135 i 819, en índex d'abundància 16/9 (abdós defectius). També hi ha casos d'número par amigables en número impar, com 42 i 544635 (en índex d'abundància 16/7). El amic impar pot ser menor que el parell, com en 84729645 i 155315394 ("abundància" 896/351).

Un quadrat perfecte pot ser amigable, per eixemple, tant 693479556 (el quadrat de 26334) com 8640 tenen "abundància" 127/36 (este eixemple està acreditat per Dean Hickerson).

Casos de n menuts

En la següent taula, els Plantilla:Color són número amigable provats Plantilla:OEIS, els Plantilla:Color són números solitaris provats Plantilla:OEIS, els números n tals que n i $σ (n)$ són número coprimo Plantilla:OEIS es deixen en negre, encara que també són coneguts per ser solitaris. Atres números tenen estat desconegut i apareixen <o>subrallats</o>.

Casuítica "amigable" dels números entre 1 i 144
n	$σ (n)$	$\frac{σ (n)}{n}$	n	$σ (n)$	$\frac{σ (n)}{n}$	n	$σ (n)$	$\frac{σ (n)}{n}$	n	$σ (n)$	$\frac{σ (n)}{n}$
1	1	1	37	38	38/37	73	74	74/73	109	110	110/109
2	3	3/2	<o>38</o>	<o>60</o>	<o>30/19</o>	<o>74</o>	<o>114</o>	<o>57/37</o>	<o>110</o>	<o>216</o>	<o>108/55</o>
3	4	4/3	39	56	56/39	75	124	124/75	111	152	152/111
4	7	7/4	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	<o>76</o>	<o>140</o>	<o>35/19</o>	<o>112</o>	<o>248</o>	<o>31/14</o>
5	6	6/5	41	42	42/41	77	96	96/77	113	114	114/113
Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color
7	8	8/7	43	44	44/43	79	80	80/79	115	144	144/115
8	15	15/8	<o>44</o>	<o>84</o>	<o>21/11</o>	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	<o>116</o>	<o>210</o>	<o>105/58</o>
9	13	13/9	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	81	121	121/81	<o>117</o>	<o>182</o>	<o>14/9</o>
<o>10</o>	<o>18</o>	<o>9/5</o>	<o>46</o>	<o>72</o>	<o>36/23</o>	<o>82</o>	<o>126</o>	<o>63/41</o>	<o>118</o>	<o>180</o>	<o>90/59</o>
11	12	12/11	47	48	48/47	83	84	84/83	119	144	144/119
Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color
13	14	14/13	49	57	57/49	85	108	108/85	121	133	133/121
<o>14</o>	<o>24</o>	<o>12/7</o>	50	93	93/50	<o>86</o>	<o>132</o>	<o>66/43</o>	<o>122</o>	<o>186</o>	<o>93/61</o>
<o>15</o>	<o>24</o>	<o>8/5</o>	<o>51</o>	<o>72</o>	<o>24/17</o>	<o>87</o>	<o>120</o>	<o>40/29</o>	<o>123</o>	<o>168</o>	<o>56/41</o>
16	31	31/16	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	<o>88</o>	<o>180</o>	<o>45/22</o>	<o>124</o>	<o>224</o>	<o>56/31</o>
17	18	18/17	53	54	54/53	89	90	90/89	125	156	156/125
Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	<o>54</o>	<o>120</o>	<o>20/9</o>	<o>90</o>	<o>234</o>	<o>13/5</o>	<o>126</o>	<o>312</o>	<o>52/21</o>
19	20	20/19	55	72	72/55	<o>91</o>	<o>112</o>	<o>16/13</o>	127	128	128/127
<o>20</o>	<o>42</o>	<o>21/10</o>	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	<o>92</o>	<o>168</o>	<o>42/23</o>	128	255	255/128
21	32	32/21	57	80	80/57	93	128	128/93	129	176	176/129
<o>22</o>	<o>36</o>	<o>18/11</o>	<o>58</o>	<o>90</o>	<o>45/29</o>	<o>94</o>	<o>144</o>	<o>72/47</o>	<o>130</o>	<o>252</o>	<o>126/65</o>
23	24	24/23	59	60	60/59	<o>95</o>	<o>120</o>	<o>24/19</o>	131	132	132/131
Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color
25	31	31/25	61	62	62/61	97	98	98/97	133	160	160/133
<o>26</o>	<o>42</o>	<o>21/13</o>	<o>62</o>	<o>96</o>	<o>48/31</o>	98	171	171/98	<o>134</o>	<o>204</o>	<o>102/67</o>
27	40	40/27	63	104	104/63	<o>99</o>	<o>156</o>	<o>52/33</o>	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color
Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	64	127	127/64	100	217	217/100	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color
29	30	30/29	65	84	84/65	101	102	102/101	137	138	138/137
Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color
31	32	32/31	67	68	68/67	103	104	104/103	139	140	140/139
32	63	63/32	<o>68</o>	<o>126</o>	<o>63/34</o>	<o>104</o>	<o>210</o>	<o>105/52</o>	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color
<o>33</o>	<o>48</o>	<o>16/11</o>	<o>69</o>	<o>96</o>	<o>32/23</o>	<o>105</o>	<o>192</o>	<o>64/35</o>	<o>141</o>	<o>192</o>	<o>64/47</o>
<o>34</o>	<o>54</o>	<o>27/17</o>	<o>70</o>	<o>144</o>	<o>72/35</o>	<o>106</o>	<o>162</o>	<o>81/53</o>	<o>142</o>	<o>216</o>	<o>108/71</o>
35	48	48/35	71	72	72/71	107	108	108/107	143	168	168/143
36	91	91/36	<o>72</o>	<o>195</o>	<o>65/24</o>	Plantilla:Color	Plantilla:Color	Plantilla:Color	144	403	403/144

Números solitaris

Un número que pertany al club dels solitaris (perque cap atre número és amigable en ell), es denomina un número solitari. Se sap que tots els número primo són solitaris, de la mateixa manera que les potències dels número primo. Més generalment, si els números n i σ(n) són número coprimo, lo que significa que el màxim comú divisor d'estos números és 1, de modo que σ(n)/n és una fracció irreducible, llavors el número n és Plantilla:OEIS solitari. Per a un número primo p es té que σ(p) = p + 1, que és coprimo en p.

No es coneix cap método general per a determinar si un número és amigable o solitari. El número més chicotet la classificació del qual es desconeix és 10; encara que es conjectura que és solitari. Si no ho és, el seu amic més chicotet és a lo manco d'un tamany superior a $1 0^{30}$ .^[1]^[2] També se sap que existixen números menuts en el seu amic més menut relativament gran: per eixemple, 24 és amigable, pero el seu amic més menut és 91.963.648.^[1]^[2]

Clubs grans

És un problema obert si existixen clubs infinitament grans de números amics entre sí. Els número perfecte formen un club, i es conjectura que hi ha infinits d'ells (a lo manco tants com primers de Mersenne), pero no es coneixen proves al respecte. Plantilla:A data de, es coneixen 51 número perfecte, el major dels quals té més de 49 millons de dígits en la notació decimal. Hi ha clubs coneguts en més membres: en particular, els formats pels número perfecte múltiples, que són números el índex dels quals d'abundància és un número entero. A principis de 2013, el club de números amics en índex d'abundància igual a 9 contava en 2094 membres coneguts.^[3] Encara que se sap que alguns són prou grans, se supon que els clubs d'número perfecte múltiples (excloent els propis número perfecte) són finitos.

Densitat asintòtica

Tot parell a, b de números amics dona lloc a que una proporció positiva de tots els número natural siguen amics (pero en diferents clubs), en considerar els parells na, nb per a multiplicadors n en mcd(n, ab) = 1. Per eixemple, la parella amiga primitiva 6 i 28 dona lloc a les parelles amigues 6n i 28n per a tots els n que són congruents a 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37 o 41 mòdul 42.^[4]

Açò demostra que la densitat natural dels números amics (si existix) és positiva.

Anderson i Hickerson varen propondre que la densitat deuria ser de fet 1 (o de manera equivalent, que la densitat dels números solitaris deuria ser 0).^[4] Segons l'artícul de MathWorld sobre Números solitaris (vore la secció de Referències a continuació), esta conjectura no s'ha resolt, encara que Pomerance va aplegar a pensar que l'hi havia refutado.

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 «10 Solitary Check».
↑ ^2,0 ^2,1 Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
↑ Flammenkamp, Achim. «The Multiply Perfect Numbers Page».
↑ ^4,0 ^4,1 “6020” (1977). The American Mathematical Monthly 84 (1): 65–66. doi:10.2307/2318325.

Bibliografia

Brutea, James. Un video sobre el número 10. Numberphile.
Friendly Number en MathWorld.
Friendly Pair en MathWorld.
Solitary Number en MathWorld.
Abundancy en MathWorld.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Números amigables» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[:0-1] 1,0 ^1,1 «10 Solitary Check».

[:1-2] 2,0 ^2,1 Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».

[3] Flammenkamp, Achim. «The Multiply Perfect Numbers Page».

[AndersonHickerson-4] 4,0 ^4,1 “6020” (1977). The American Mathematical Monthly 84 (1): 65–66. doi:10.2307/2318325.

[1]

[2]

[3]

[4]