Número de Jacobsthal

En matemàtiques, els números de Jacobsthal són una successió de números sancers nomenada en honor al matemàtic alemà Ernst Jacobsthal. Esta successió té relació en la de Fibonacci, de fet, és un cas particular de successió de Lucas en el que cada u dels térmens de la successió es definix de forma recursiva com el terme anterior (P = 1) més dos voltes l'anterior a eixe (Q = -2)—, sent els dos primers térmens de la successió iguals a 0 i 1, respectivament. Els primers números de Jacobsthal (Plantilla:OEIS) són:

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, …

Números de Jacobsthal

Els números de Jacobsthal es definixen per la següent relació recursiva:

$J_n=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }n=0;\\ 1& \text{if }n=1;\\ J_{n-1}+2J_{n-2}& \text{if }n>1.\end{array}$

Donat un número de Jacobsthal J_n, el següent ve dau per la següent fòrmula:

$J_{n+1}=2J_n+(-1{)}^n.$

També és possible calcular un número de Jacobsthal sense necessitat de conéixer els anteriors, per mig de la fòrmula:

$J_n=\frac{2^n-(-1{)}^n}{3}.$

Números de Jacobsthal-Lucas

Els números de Jacobsthal-Lucas conserven la relació de recurrencia, L_n-1 + L_n-2, dels números de Jacobsthal, pero utilisen les condicions inicials dels números de Lucas, és dir, L₀ = 2, i L₁ = 1. A partir d'ahí, els números de Jacobsthal-Lucas es definixen de la següent forma:

$L_n=\{\begin{array}{cc}2& \text{if }n=0;\\ 1& \text{if }n=1;\\ L_{n-1}+2L_{n-2}& \text{if }n>1.\end{array}$

El número de Jacobsthal-Lucas següent a un donat també satisfà:

$L_{n+1}=2L_n-3(-1{)}^n.$

Els números de Jacobsthal-Lucas també es poden calcular sense necessitat de conéixer els precedents per mig de la següent fòrmula:

$L_n=2^n+(-1{)}^n.$

Estos són els primers números de Jacobsthal-Lucas (Plantilla:OEIS2):

2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16385, 32767, 65537, 131071, 262145, 524287, 1048577, …