Orde d'aproximació

En ciència, ingenieria i atres disciplines quantitatives, el terme orde d'aproximació es referix a expressions formals o informals de lo exacta que és una aproximació a una senya o una mida. És un concepte íntimament lligat a l'idea de precisió.

Us en ciència i ingenieria

En expressions formals, l'ordinal usat abans de la paraula orde es referix a la potencia més alta en l'expansió en série usada en una aproximació. Les expressions: una aproximació d'orde zero, una aproximació de primer orde, una aproximació de segon orde, etc. s'utilisen com unitat fraseológica. L'expressió aproximació d'orde zero també és comú en anglés. Els número cardinal s'utilisen ocasionalment en expressions com una aproximació d'orde zero, una aproximació d'orde un, etc.

L'omissió de la paraula orde conduïx a frases que tenen un significat menys formal. Frases com en primera aproximació o en una primera aproximació poden referir-se a un valor aproximat d'una cantitat. En anglés, la frase "to a zeroth approximation" (en una aproximació zero) indica una suposició desgavellada. L'expressió orde d'aproximació a voltes s'utilisa informalmente per a referir-se al número de sifres significatives, en orde creixent de precisió, o al orde de magnitut. Des del punt de vista estrictament matemàtic, este tipo d'expressions poden resultar confuses, ya que no es referixen directament a l'orde de les derivades del desenroll en série en el que s'aproxima una funció.

L'elecció de l'expansió de la série depén de l'enfocament utilisat del método científic per a investigar un fenomen. S'espera que l'expressió orde d'aproximació indique representacions progressivament més refinades d'una funció en un interval específic. L'elecció de l'orde d'aproximació depén del propòsit del tipo d'investigació en la que es treballe. Es pot desijar simplificar una expressió analítica coneguda per a idear una nova aplicació o, pel contrari, intentar ajustar una curva a punts de senyes. L'orde superior d'aproximació no sempre és més útil que l'inferior. Per eixemple, si una cantitat és constant dins de tot un interval, aproximar-la en una série de Taylor de segon orde no aumentarà la precisió.

En el cas de funcions suaus, l'aproximació d'orde n és un polinomi de grau n, que s'obté truncant la série de Taylor fins a este grau. L'us formal del terme orde d'aproximació correspon a l'omissió d'alguns térmens de les séries utilisades en l'expansió (normalment, els térmens superiors). Açò afecta a la precisió. L'error sol variar dins de l'interval. Per lo tant, els números d'orde zero, primer, segon, etc. usats formalment en el significat anterior no brinden informació directa sobre l'error percentual o les sifres significatives.

D'orde zero

Aproximació d'orde zero és el terme que utilisen els científic per a una primera resposta aproximada. S'assumixen numeroses simplificació i, quan es necessita un número, a sovint es dona una resposta d'orde de magnitut (o zero sifres significatives). Per eixemple, es podria dir "la ciutat té uns pocs mills de residents", quan en realitat té 3.914 persones. En estos casos, se sol parlar d'orde de magnitut de l'aproximació. El zero de "orde zero" representa el fet de que inclús l'únic número donat, "uns pocs", està vagament definit.

Una aproximació d'orde zero d'una funció (és dir, una expressió matemàtica que s'ajuste a múltiples unitats d'observació) serà una constant, o una recta de pendent zero, és dir, un polinomi de grau 0. Per eixemple:

$x=[0,1,2],$

$y=[3,3,5],$

$y\sim f(x)=3.67$

podria ser, si s'informara la precisió dels punts de senyes, un ajust aproximat a les senyes, obtingut simplement promediando els valores x i els valors i. No obstant, els parells de senyes són el resultat d'una série de medicions, i no són estrictament punts des del punt de vista geomètric. Per lo tant, donar un valor promig en tres dígits significatius en solament un dígit significatiu en les senyes d'entrada podria reconéixer-se com un eixemple de falsa precisió. En la precisió implícita dels punts de senyes de ±0,5, l'aproximació d'orde zero podria, en el millor dels casos, produir el resultat per a i de 3,7±2,0 en l'interval de x de -0,5 a 2.5, considerant la seua desviació típica.

Si els punts de senyes s'hagueren medit com

$x=[0.00,1.00,2.00],$

$y=[3.00,3.00,5.00],$

l'aproximació d'orde zero dona com a resultat

$y\sim f(x)=\mathrm{3.67.}$

La precisió del resultat justifica un intent d'aplicar una funció multiplicativa per a eixe promig, per eixemple,

$y\sim x+\mathrm{2.67.}$

No obstant, cal anar en conte, perque la funció multiplicativa es definirà per a tot l'interval. Si solament hi ha tres punts de senyes disponibles, no es té coneiximent sobre el restant del interval, que pot ser una gran part. Açò significa que i podria tindre un atre component que siga igual a 0 en els extrems i en el mig de l'interval. Es coneixen vàries funcions que tenen esta propietat, per eixemple i = sen πx. La série de Taylor és útil i ajuda a predir una solució analítica, pero l'aproximació per sí sola no proporciona evidència concloent.

De primer orde

Aproximació de primer orde és el terme que utilisen els científics per a donar una resposta llaugerament millor. Es fan algunes suposicions simplificadoras i, quan es necessita un número, a sovint es dona una resposta en una sola sifra significativa ("la ciutat té 4, o quatre mil, residents"). En el cas d'una aproximació de primer orde, a lo manco un número donat és exacte. En l'eixemple d'orde zero anterior, es va donar la cantitat "uns pocs", pero en l'eixemple de primer orde, es va donar el número "4".

Una aproximació de primer orde d'una funció (és dir, determinar matemàticament una fòrmula que s'ajuste a múltiples punts de senyes) serà una aproximació llineal, una llínea recta en pendent: un polinomi de grau 1. Per eixemple:

$x=[0.00,1.00,2.00],$

$y=[3.00,3.00,5.00],$

$y\sim f(x)=x+2.67$

és un ajust aproximat a les senyes.

En este eixemple hi ha una aproximació d'orde zero que és igual a la de primer orde, pero el método per a aplegar a ella és diferent; pero de forma inesperada, una "aproximació grossera" resulta ser tan bona com una "suposició fonamentada".

De segon orde

"Aproximació de segon orde" és el terme que utilisen els científics per a referir-se a una resposta de calitat acceptable. Es fan poques suposicions simplificadoras i, quan es necessita un número, generalment es dona una resposta en dos o més sifres significatives ("la ciutat té 3,9, o tres mil noucents, residents"). En matemàtica financera, les aproximacions de segon orde es coneixen com correccions de convexidad. Com en els eixemples anteriors, el terme "segon orde" es referix al número de sifres exactes donades per a la cantitat imprecisa. En este cas, "3" i "9" es donen com els dos nivells successius de precisió, en lloc de simplement el "4" del primer orde, o "alguns" de l'orde zero que es troben en els eixemples anteriors.

Una aproximació de segon orde d'una funció (és dir, determinar matemàticament una fòrmula que s'ajuste a múltiples punts de senyes) serà una funció quadràtica, geomètricament, una paràbola: un polinomi de grau 2. Per eixemple:

$x=[0.00,1.00,2.00],$

$y=[3.00,3.00,5.00],$

$y\sim f(x)=x^2-x+3$

és un ajust aproximat a les senyes. En este cas, en sol tres punts de senyes, una paràbola és un ajust exacte segons les senyes proporcionades. No obstant, els punts de senyes per a la major part de l'interval no estan disponibles, lo que fa que es deguen prendre en precaució els valors intermijos deduïts de la fòrmula d'aproximació (vore "orde zero").

D'orde superior

Si be existixen aproximacions d'orde superior i són crucials per a una millor comprensió i descripció de la realitat, normalment no es fa referència a elles per números.

Continuant en lo anterior, es requeriria una aproximació de tercer orde per a ajustar perfectament quatre punts de senyes, i aixina successivament. Vore l'artícul dedicat a l'interpolació polinòmica.

Us coloquial

Estos térmens també els utilisen coloquialmente científics i ingeniers per a descriure fenomens que poden despreciar-se per no ser significatius (per eixemple, "Per supost, la rotació de la Terra afecta el nostre experiment, pero és un efecte de tan alt orde que no podríem medir-ho", o "A estes velocitats, la relativitat és un efecte de quart orde del que solament nos preocupem en la calibración anual"). En este us, la ordinalidad de l'aproximació no és exacta, pero s'utilisa per a emfatisar la seua insignificança. Quant major siga el número utilisat, menys important serà l'efecte. La terminologia, en este context, representa un alt nivell de precisió necessari per a donar conte d'un efecte que es infiere que és molt chicotet en comparació al tema general. Quant major siga l'orde, més precisió es requerix per a medir l'efecte i, per tant, la pequeñez de l'efecte en comparació a la medició general.

Vore també

• Linealización
• Teoria perturbacional
• Série de Taylor
• Método de Chapman-Enskog
• Cota superior asintòtica