Pantaló (matemàtiques)

Un pantaló representat en l'espai, en la seua vora de color roig

En matemàtiques, un pantaló és una superfície que és homeomórfica a una esfera en tres orificis. El nom prové de considerar un dels discs eliminats com la cintura i els atres dos com les boques de les perneras d'un pantaló.

Els pantalons s'utilisen com a blocs de construcció per a les superfícies compactes en vàries teories. Dos aplicacions importants són per a la geometria hiperbòlica, a on s'utilisen descomposicions de superfícies per mig de pantalons per a construir sistemes de coordenades de Fenchel-Nielsen en l'espai de Teichmüller, i en teoria topològica quàntica de camp, a on són els cobordismos no trivials més simples entre les varietats unidimensionals.

Pantalons i la seua descomposició

Pantalons com a superfícies topològiques

Un pantaló com un domini pla (en blau, en la seua vora en roig)

Matemàticament, un pantaló és qualsevol superfície homeomorfa a una esfera en tres orificis, que formalment és el resultat de llevar de l'esfera tres discs en tancaments disjuntos per parells. Aixina, un pantaló és una superfície compacta de genus zero en tres fronteres.

La característica de Euler d'un parell de pantalons és igual a −1, i l'única una atra superfície en esta propietat és el bou perforat (un bou menys una obertura en forma de disc).

Descomposicions d'un pantaló

Dos descomposicions de pantalons diferents per a la superfície de genus (gènero) 2

L'importància dels pantalons en l'estudi de les superfícies es deriva de la següent propietat: definir la complexitat d'una superfície compacta conexa $S$ de genus $g$ en $k$ components de contorn com $\xi (S)=3g-3+k$, i per a una superfície no conexa prendre la suma de tots els components. Llavors, les úniques superfícies en característica de Euler negativa i complexitat zero són unions disjuntas de pantalons. Ademés, per a qualsevol superfície $S$ i qualsevol curva simple tancada $c$ sobre $S$ que no siga homotópica per a un component llímit, la superfície compacta obtinguda tallant $S$ en $c$ té una complexitat estrictament menor que $S$. En este sentit, els pantalons són les úniques superfícies "irreducibles" entre totes les superfícies de característica negativa de Euler.

Per un argument recursivo, açò implica que per a qualsevol superfície existix un sistema de curves tancades simples que tallen la superfície en pantalons. Açò es denomina "descomposició en pantalons" de la superfície, i les curves obtingudes es denominen "punys" de la descomposició. Esta descomposició no és única, pero en quantificar l'argument es veu que totes les descomposicions en pantalons d'una superfície donada tenen el mateix número de curves, que és exactament la seua complexitat. Per a superfícies conexas, una descomposició en pantalons té exactament $2g-2+k$ pantalons.

Una colecció de curves tancades simples sobre una superfície és una descomposició en pantalons si i solament si són inconexas, dos d'elles no són homotópicas i cap és homotópica a un component de contorn, i la colecció és màxima per a estes propietats.

Complex de pantalons

Archiu:Pants moves.png

Moviments elementals entre una descomposició en pantalons

Una superfície donada té infinites descomposicions en pantalons distintes (s'entén que dos descomposicions són distintes quan no són homotópicas). Una forma de tractar d'entendre les relacions entre totes estes descomposicions és el complex de pantalons associat a la superfície. Est és un grafo en vèrtiç establit en les descomposicions en pantalons de $S$, i dos vèrtiços s'unixen si estan relacionats per un moviment elemental, que és una de les dos operacions següents:

Prenga's una curva $\alpha$ en la descomposició en un bou d'un forat i reemplace's per una curva en el bou que ho interseca solament una volta, Prenga's una curva $\alpha$ en la descomposició en una esfera de quatre orificis i reemplace's per una curva en l'esfera que la interseca solament dos voltes.

El complex de pantalons és conexo (lo que significa que dos descomposicions de pantalons estan relacionades per una seqüència de moviments elementals) i té diàmetro infinit (lo que significa que no hi ha un llímit superior en el número de moviments necessaris per a passar d'una descomposició a l'atra). En el cas particular quan la superfície té complexitat 1, el complex de pantalons és isomòrfic a la successió de Farey.

l'acció del grup de classe d'aplicació en el complex dels pantalons és d'interés per a l'estudi d'este grup. Per eixemple, Allen Hatcher i William Thurston ho han usat per a demostrar que és de presentació finita.

Pantalons en geometria hiperbòlica

Mòdul de l'espai de pantaló hiperbòlic

Les interessants estructures hiperbòliques d'un pantaló es classifiquen fàcilment.

Per a tot ${\ell }_1,{\ell }_2,{\ell }_3\in (0,\mathrm{\infty })$ existix una superfície hiperbòlica $M$ que és homeomorfa a un pantaló i les components del qual de contorn són geodèsiques tancades simples de llongituts iguals a ${\ell }_1,{\ell }_2,{\ell }_3$. Tal superfície està determinada únicament per ${\ell }_i$ llevat isometrías.

En prendre la llongitut d'un puny (boca de pernera) igual a zero, s'obté una mátrica completa en el pantaló menys el puny, que es reemplaça per un cim. Esta estructura és de volum finito.

Pantalons i hexàgons

La prova geomètrica de la classificació en el paràgraf anterior és important per a comprendre l'estructura d'un pantaló hiperbòlic. Es procedix de la següent manera: Donat un pantaló hiperbòlic en llímit totalment geodèsic, existixen tres arcs geodèsics únics que unixen els punys per parells i que són perpendiculars a ells en els seus extrems. Estos arcs es diuen les "costures" dels pantalons.

En tallar un pantaló per les seues costures, s'obtenen dos hexàgons hiperbòlics en àngul recte que tenen tres costats alterns de llongituts a joc. El següent lema es pot provar en geometria hiperbòlica elemental.

Si dos hexàgons hiperbòlics en àngul recte tenen cada u tres costats alterns de llongituts iguals, llavors són isomètrics entre sí.

Llavors es comprova que el pantaló és el doble d'un hexàgon en àngul recte en costats alterns. Ya que la classe d'isometría de l'hexàgon també està determinada únicament per les llongituts dels tres costats alterns restants, la classificació del pantaló es deriva de la dels hexàgons.

Quan la llongitut d'un puny és zero, es reemplaça el costat corresponent en l'hexàgon en àngul recte per un vèrtiç ideal.

Coordenades de Fenchel-Nielsen

Artícul principal → coordenades de Fenchel-Nielsen.

Un punt en l'espai de Teichmüller d'una superfície $S$ està representat per un parell $(M,f)$, a on $M$ és una superfície hiperbòlica completa i $f:S\to M$ un difeomorfismo.

Si $S$ té una descomposició en pantalons per les curves ${\gamma }_i$, llavors es poden parametrizar els parells de Teichmüller per mig de les coordenades de Fenchel-Nielsen, que es definixen a continuació. Les "llongituts de puny" ${\ell }_i$ són simplement les llongituts de les geodèsiques tancades homotópicas a $f({\gamma }_i)$.

Els "paràmetros de torsió" ${\tau }_i$ són més difícils de definir. Corresponen a quànt es gira en pegar dos pantalons en ${\gamma }_i$: açò es definix definix pel mòdul ${\ell }_i\mathbb{Z}$. Es pot refinar la definició (utilisant la continuació analítica o tècniques geomètriques) per a obtindre paràmetros de gir valorats en $ℝ$ (més o menys, el punt és que quan es fa un gir complet, canvia el punt en l'espai de Teichmüller al precomponer $f$ en un gir de Dehn al voltant de ${\gamma }_i$).

El complex dels pantalons i la mètrica de Weil-Petersson

Es pot definir una aplicació del complex de pantalons a l'espai de Teichmüller, que du una descomposició de pantalons a un punt elegit arbitrariamente en la regió a on la part del puny de les coordenades de Fenchel-Nielsen està llimitada per una constant lo suficientment gran. És una quasi-isometría quan l'espai de Teichmüller està dotat de la mètrica de Weil-Petersson, que ha demostrat la seua utilitat en l'estudi d'esta mètrica.

Pantaló i grups de Schottky

Estes estructures corresponen a grups de Schottky en dos generadors (més precisament, si el cocient de la geometria hiperbòlica per un grup de Schottky en dos generadors és homeomorfo a l'interior d'un pantaló, llavors el seu núcleu convexo és un pantaló hiperbòlic com es descriu dalt, i tots s'obtenen com a tals).

Bibliografia

• “A presentation for the mapping class group of a closed orientable surface” . Topology 19 (3): 221–237. doi:10.1016/0040-9383(80)90009-9.
• (1992) An introduction to Teichmüller spaces, Springer, pp. xiv+279. ISBN 4-431-70088-9.
• Ratcliffe, John (2006). Foundations of hyperbolic manifolds, Second edition, Springer, pp. xii+779. ISBN 978-0387-33197-3.