Prova elemental

En matemàtiques, una prova elemental és un demostració que solament usa tècniques bàsiques. Més específicament, el terme s'utilisa en teoria de números per a referir-se a proves que no fan us d'anàlisis complex. Durant algun temps es va pensar que certes teoremes, com el teorema dels número primo, solament podien provar-se usant matemàtiques "superiors". No obstant, en el temps, molts d'estos resultats han segut reprovats utilisant solament tècniques elementals.

Encara que el significat no sempre s'ha definit en precisió, el terme s'utilisa comunament en la gerga matemàtica. Una prova elemental no és necessàriament simple, en el sentit de ser fàcil d'entendre: algunes proves elementals poden ser prou complicades.

Teorema de l'número primo

La distinció entre proves elementals i no elementals ha segut considerada especialment important sobre el teorema dels número primo. Esta teorema va ser provada per primera volta en 1896 per Jacques Hadamard i Charles-Jean de la Vallée Poussin utilisant anàlisis complexos. Molts matemàtics varen intentar llavors construir proves elementals de la teorema, sense èxit. Godfrey Harold Hardy va expressar fortes reserves; va considerar que la "profunditat" essencial del resultat descartava proves elementals:

No es coneix cap prova elemental de la teorema de l'número primo, i un pot preguntar-se si és raonable esperar una. Ara sabem que la teorema és aproximadament equivalent a una teorema sobre una funció analítica, la teorema de que la funció zeta de Riemann no té raïls en una certa llínea. Una prova de tal teorema, que no depén fonamentalment de la teoria de les funcions, em sembla extraordinàriament improvable. És imprudent afirmar que una teorema matemàtica "no pot" ser provat d'una manera particular; pero una cosa sembla prou clara. Tenim certs punts de vista sobre la llògica de la teoria; pensem que algunes teoremes, com diem "es troben profundament" i uns atres més propencs a la superfície. Si algú produïx una prova elemental de la teorema de l'número primo, demostrarà que estos punts de vista són erròneus, que la qüestió no depén de les condicions que hem supost, i que és hora de que els llibres siguen rebujats per a que la teoria siga reescrita de nou.

G. H. Hardy (1921). Llectura en la Societat Matemàtica de Copenhague. Citada en Goldfeld (2003), p. 3

No obstant, en 1948, Atle Selberg va produir nous métodos que ho varen dur junt en Paul Erdős a trobar proves elementals de la teorema del número primo.

Una possible formalisació de la noció de "elemental" en conexió en una prova d'un resultat numèric teòric és la restricció de que la prova pot portar-se a terme en aritmètica de Peano.^{cita requerida} També en eixe sentit, estes proves són elementals.

Conjectura de Friedman

Artícul principal → Gran conjectura.

Harvey Friedman conjeturó: "Tot teorema publicada en els Annals of Mathematics la declaració del qual implica solament objectes matemàtics finitos (és dir, lo que els llògics criden una declaració aritmètica) es pot provar en l'aritmètica elemental." La forma d'aritmètica elemental a la que es fa referència en esta conjectura pot formalisar-se per mig d'un chicotet conjunt de axioma relatius a l'aritmètica sancera i a l'inducció matemàtica. Per eixemple, d'acort en esta conjectura, l'última teorema de Fermat deu tindre una prova elemental; la prova de Wiles de l'última teorema no és elemental. No obstant, hi ha atres declaracions simples sobre l'aritmètica com l'existència de funcions d'iteración exponencial que no poden ser provades en esta teoria.