Punt adherente

En matemàtica, en l'àrea de topología, es diu que el punt $x$ és un punt adherente a un subconjunt $A$ d'un espai topològic $X$, si $x\in \overline{A}$, pany de $A$, és dir que tot veïnat de $x$ conté a lo manco un element de $A$.

Definició

Un punt $x$ es denomina punt de adherencia d'un conjunt $A$ si para tot entorn $U_x$es complix que $U_x\cap A\ne \varnothing$.

Esta definició és més general que la de punt d'acumulació, que requerix que tot conjunt obert que continga a x continga a lo manco un punt de A pero diferent de x. Tot punt d'acumulació és un punt adherente, pero el reciproco no és sempre cert. En este sentit, la noció de punt adherente no és intrínseca, puix depén de l'espai topològic del com A és vist com a subconjunt.

Un punt de X que no és adherente a A es diu punt exterior, i és interior a XA.

Un punt adherente a A és o be un punt d'acumulació de A o be un element de A (o els dos). Un punt adherente que no és un punt d'acumulació és un punt aïllat.

Eixemples

• En $ℝ$, $1$ és un punt de adherencia de l'interval tancat $[0,1]$. També ho és de l'interval obert $]0,1[$
• Més generalment, en $ℝ$, la cota superior i la cota inferior d'un conjunt acotat no buit són adherentes a este conjunt, en eixe cas són elements del conjunt, després adherentes a ell. Més generalment, el suprem i l'ínfim són punts adherentes a un conjunt acotat.
• El llímit d'una successió o d'una funció és adherente al conjunt de valors que pren la funció.
• Per a tot subconjunt S d'un espai mètric M, S conté tots els seus punts adherentes si i solament si S és tancat en M.
• Siga el conjunt A = {5} O (1; 3). Respecte a la topología usual de ℝ, els seus punts adherentes són: 5, i tots els punts de l'interval tancat [1;3]; ademés 5 és punt aïllat d'i els punts 1 i 3 són punts exteriors de A. I el conjunt adherencia és Adh(A) = {5}O[1;3] que és tancat per ser unió de dos tancats

Vore també

• Punt d'acumulació
• Punt aïllat