Relació llineal

En àlgebra llineal, una relació llineal (o simplement relació) entre elements d'un espai vectorial o d'un mòdul és una equació de primer grau que té estos elements com a solució.

Més precisament, si $e_1,\dots ,e_n$ són elements d'un mòdul (per l'esquerra) M sobre un anell R (el cas d'un espai vectorial sobre un cos és un cas especial), una relació entre $e_1,\dots ,e_n$ és una successió $(f_1,\dots ,f_n)$ d'elements de R tal que

$f_1{e}_1+\dots +f_n{e}_n=0.$

Les relacions entre $e_1,\dots ,e_n$ formen un mòdul. El cas més habitual és que $e_1,\dots ,e_n$ siga un conjunt generador d'un mòdul generat finitamente M, en el cas de la qual el mòdul de les relacions a sovint es denomina mòdul de sizigia de M. El mòdul de sizigia depén de l'elecció d'un conjunt generador, pero és únic fins a la suma directa en un mòdul lliure. És dir, si $S_1$ i $S_2$ són mòduls sizigia corresponents a dos conjunts generadors del mateix mòdul, llavors es diu que són establemente isomorfos, lo que significa que existixen dos mòduls lliures $L_1$ i $L_2$ de manera que $S_1\oplus L_1$ i $S_2\oplus L_2$ són isomorfismes.

Els mòduls sizigia d'orde superior es definixen de forma recursiva: un primer mòdul de sizigia d'un mòdul M és simplement el seu mòdul de sizigia. Per a k > 1, un mòdul de sizigia k-ésimo de M és un mòdul de sizigia d'un mòdul de sizigia (k – 1)-ésimo. El teorema de la sizigia de Hilbert establix que, si $R=K[x_1,\dots ,x_n]$ és un anell de polinomis n indeterminat sobre un cos, llavors cada mòdul de sizigia n-ésimo és lliure. El cas n = 0 és el fet de que cada espai vectorial de dimensió finita té una base, i el cas n = 1 és el fet de que K[x] és un domini d'ideals principals i que cada submòdul d'un mòdul K[x] lliure finitamente generat també és lliure.

La construcció de mòduls sizigia d'orde superior es generalisa com la definició de resolució lliure, lo que permet reformular la teorema de la sizigia de Hilbert com un anell polinòmic n indeterminat sobre un camp que té dimensió homológica global n.

Si a i b són dos elements del anell conmutativo R, llavors (b, –a) és una relació que es diu "trivial". El "mòdul de relacions trivials" d'un ideal és el submòdul del primer mòdul de sizigia de l'ideal que és generat per les relacions trivials entre els elements d'un conjunt generador d'un ideal. El concepte de relacions trivials pot generalisar-se a mòduls sizigia d'orde superior, i conduïx al concepte de complex de Koszul d'un ideal, que proporciona informació sobre les relacions no trivials entre els generadors d'un ideal.

Definicions bàsiques

Siga R un anell i M un R-mòdul per l'esquerra. Una relació llineal, o simplement una relació entre elements k $x_1,\dots ,x_k$ de M és una seqüència $(a_1,\dots ,a_k)$ d'elements de M tal que

$a_1{x}_1+\dots +a_k{x}_k=0.$

Si $x_1,\dots ,x_k$ és un conjunt generador de M, la relació a sovint es denomina "sizigia" de M. Esta terminologia té sentit, ya que, encara que el mòdul de sizigia depén del conjunt generador elegit, la majoria de les seues propietats són independents;

Si l'anell R és noetheriano, o a lo manco coherent, i si M és generat finitamente, llavors el mòdul de sizigia també es genera de forma finita. Un mòdul de sizigia d'este mòdul de sizigia és un "segon mòdul de sizigia" de M. Continuant d'esta manera es pot definir un mòdul de sizigia k-ésimo per a cada sancer positiu k.

El teorema de la sizigia de Hilbert afirma que, si M és un mòdul generat de manera finita sobre un anell de polinomis $K[x_1,\dots ,x_n]$ sobre un cos, llavors qualsevol mòdul de sizigia n-ésimo és un mòdul lliure.

Propietats estables

En esta secció, se supon que tots els mòduls es generen de forma finita. Eixe és l'anell que se supon R noetheriano, o, a lo manco, coherent.

En térmens generals, en el llenguage de la K-teoria, una propietat és "estable" si es convertix en verdadera en fer una suma directa en un mòdul lliure suficientment gran. Una propietat fonamental dels mòduls sizigia és que existixen "establemente independents" en les opcions dels conjunts generadors per als mòduls involucrats. El següent resultat és la base d'estes propietats estables.

Proposició: Siga $\{x_1,\dots ,x_m\}$ un conjunt generador d'un R-mòdul M, i $y_1,\dots ,y_n$ són atres elements de M. El mòdul de les relacions entre $x_1,\dots ,x_m,y_1,\dots ,y_n$ és la suma directa del mòdul de les relacions entre $x_1,\dots ,x_m,$ i un mòdul lliure d'orde n.

Prova: Com $\{x_1,\dots ,x_m\}$ és un conjunt generador, cada $y_i$ es pot escriure com

$y_i=\sum {\alpha }_{i,j}{x}_j.$

Açò proporciona una relació $r_i$ entre $x_1,\dots ,x_m,y_1,\dots ,y_n.$ Ara, si $(a_1,\dots ,a_m,b_1,\dots ,b_n)$ és alguna relació, llavors

$r-\sum b_i{r}_i$

és una relació entre $x_1,\dots ,x_m$ únicament. En atres paraules, cada relació entre $x_1,\dots ,x_m,y_1,\dots ,y_n$ és una suma d'una relació entre $x_1,\dots ,x_m,$ i una combinació llineal de $r_i$. És senzill demostrar que esta descomposició és única, i açò prova el resultat. $◼$

Ademés, permet comprovar que el primer mòdul de sizigia és "establemente únic". Més precisament, daus dos conjunts generadors $S_1$ i $S_2$ d'un mòdul M, si $S_1$ i $S_2$ són els corresponents mòduls de les relacions, llavors existixen dos mòduls lliures $L_1$ i $L_2$ tals que $S_1\oplus L_1$ i $S_2\oplus L_2$ són isomorfos. Per a provar açò, basta aplicar dos voltes la proposició anterior en la finalitat d'obtindre dos descomposicions del mòdul de les relacions entre l'unió dels dos conjunts generadors.

Per a obtindre un resultat similar per a mòduls de sizigia superiors, queda per demostrar que, si M és qualsevol mòdul i L és un mòdul lliure, llavors M i M ⊕ L tenen mòduls de sizigia isomorfos. Basta considerar un conjunt generador de M ⊕ L que consta d'un conjunt generador de M i una base de L. Per a cada relació entre els elements d'este conjunt generador, els coeficients dels elements base de L són tots zero, i les sizigias de M ⊕ L són exactament les sizigias de M esteses en coeficients zero. Açò completa la demostració de la següent teorema.

Bibliografia

• (2007) «Ideals, Varieties, and Algorithms», Undergraduate Texts in Mathematics, New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-0-387-35651-8. ISBN 978-0-387-35650-1.
• (2005) «Using Algebraic Geometry», Graduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/b138611. ISBN 0-387-20706-6.
• (1995) Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry (vol. 150), Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8.
• David Eisenbud, The Geometry of Syzygies, Texts de postgrau en matemàtiques, vol. 229, Springer, 2005.