Simetria cíclica en tres dimensions

La simetria cíclica en tres dimensions està integrada per quatre séries infinites de grups de punts en tres dimensions (n≥1) en simetria rotacional o reflexiva de multiplicitat n respecte a un eix (en un àngul de 360°/n), tals que conserven la configuració de la situació dels punts.

En geometria tridimensional es definixen d'acort en els grups de simetria finitos d'un con. Per a n = ∞ corresponen a quatre frisos. S'utilisa la notació de Schönflies. Els térmens horisontal (h) i vertical (v) impliquen l'existència i direcció de reflexions sobre un eix de simetria vertical. També es mostra la notació de Coxeter entre corchetes i la notació orbifold entre paréntesis.

Eixemple d'arbre de subgrups de simetria per a la simetria diédrica: D_4h, [4,2], (*224)

Tipos

Quiral

• C_n, [n]⁺, (nn) d'orde n (és dir, en simetria n-rotacional), el grup acro-n-gonal (grup abstracte Z_n). Per a n=1, sense simetria (el grup trivial).

Aquirales

• C_nh, [n⁺,2], (n*) d'orde 2n (és dir,simetria prismàtica o del grup orto-n-gonal; el grup abstracte Z_n × Dih₁); per a n=1 açò es denota per C_s (1*) i es diu simetria especular, o també simetria bilateral. Té simetria especular sobre un pla perpendicular a l'eix de rotació n.

• C_nv, [n], (*nn) d'orde 2n (simetria piramidal o del grup complet acro-n-gonal; el grup abstracte Dih_n); en biologia C_2v es diu simetria birradial. Per a n=1 es té novament que C_s (1*). Té plans de simetria especular verticals. Est és el grup de simetria d'una piràmide regular de n costats.

• 'S_2n, [2⁺,2n⁺], (n×) d'orde 2n (el grup gire-n-gonal, que no deu confondre's en els grups simètrics, per als quals s'usa la mateixa notació; és el grup abstracte Z_2n). Té un eix de rotorreflexión d'orde 2n, també cridat eix de rotació impròpia de 2n, és dir, el grup de simetria conté una combinació d'una reflexió en el pla horisontal i una rotació en un àngul de 180°/n. Aixina, com a D_nd, conté un número de rotacions impròpies pero sense contindre les rotacions corresponents.

• • Per a n=1 es té que S₂ (1×), també denotat per C_i, també denominada simetria d'inversió.

C_2h, [2,2⁺] (2*) i C_2v, [2], (*22) d'orde 4 són dos dels tres tipos de grups de simetria 3D en el grup de Klein com a grup abstracte. C_2v s'aplica, per eixemple, per a una lloseta rectangular en la seua cara superior diferent de la seua cara inferior.

Grups de frisos

Peça de farcidura d'embalage en simetria C_2h

En el llímit, estos quatre grups representen els frisos en el pla euclídeo com a C_∞, C_∞h, C_∞v i S_∞. Les rotacions es convertixen en translacions en el llímit. Les porcions del pla infinit també es poden tallar i conectar en un cilindre infinit.

Frisos

Notacions				Eixemples
IUC	Orbifold	Coxeter	Schönflies*	Pla euclídeo	Cilindre (n=6)
p1	∞∞	[∞]+	C∞		Archiu:Uniaxial c6.png
p1m1	*∞∞	[∞]	C∞v	Archiu:Frieze example p1m1.png	Archiu:Uniaxial c6v.png
p11m	∞*	[∞+,2]	C∞h	Archiu:Frieze example p11m.png	Archiu:Uniaxial c6h.png
p11g	∞×	[∞+,2+]	S∞	Archiu:Frieze example p11g.png	Archiu:Uniaxial s6.png

Eixemples

S2/Ci (1x):	C4v (*44):		C5v (*55):
Archiu:Parallelepiped.svg Paralelepípede	Archiu:Square pyramid.png Piràmide quadrada	Archiu:Elongated square pyramid.png Piràmide quadrada elongada	Archiu:Pentagonal pyramid.png Piràmide pentagonal

Vore també

• Simetria diédrica en tres dimensions

Bibliografia

• Sands, Donald E. (1993). «Crystal Systems and Geometry», Introduction to Crystallography, Mineola, New York: Dover Publications, Inc., p. 165. ISBN 0-486-67839-3.
• On Quaternions and Octonions, 2003, John Horton Conway and Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5
• The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Àsia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
• N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups