Sistema pi

En matemàtiques, un sistema Π (o sistema pi) en un conjunt $\Omega$ és una colecció $P$ de certs subconjunts de $\Omega ,$ de modo que:

• $P$ és no buit.
• Si $A,B\in P$, llavors $A\cap B\in P.$

És dir, $P$ és una família no buida de subconjunts de $\Omega$ que està tancada baixe un número finito d'intersectiones no buides. L'importància dels sistemes Π sorgix del fet de que si dos medides de provabilitat coincidixen en un sistema Π, llavors coincidixen en la Σ-àlgebra generada per eixe sistema Π. Ademés, si atres propietats, com l'igualtat d'integrals, es complixen per al sistema Π, llavors també es complixen per a l'àlgebra Σ generada. Est és el cas sempre que la colecció de subconjunts per als quals es manté la propietat és un sistema λ. Els sistemes Π també són útils per a comprovar l'independència de variables aleatòries.

Açò és desijable perque, en la pràctica, els sistemes Π solen ser més senzills de treballar que les àlgebra Σ. Per eixemple, pot resultar incómodo treballar en àlgebra Σ generades per un número finito de conjunts $\sigma (E_1,E_2,\dots ).$ Per lo tant, es pot examinar l'unió de totes les àlgebra Σ generades per un número finito de conjunts $\bigcup _n\sigma (E_1,\dots ,E_n).$ Açò forma un sistema Π que genera l'àlgebra Σ desijada. Un atre eixemple és la colecció de tots els intervals de la recta real, junt en el conjunt buit, que és un sistema Π que genera el molt important àlgebra Σ de Borel de subconjunts de la recta real.

Definicions

Un Π-system és una colecció no buida de conjunts $P$ que està tancada baix interseccions finitas no buides, lo que equival a que $P$ continga l'intersecció de dos dels seus elements qualssevol. S¨ i cada conjunt en este sistema Π és un subconjunt de $\Omega$, llavors es diu

Per a qualsevol família $\Sigma$ de subconjunts de $\Omega ,$ que no estiga buit, existix un sistema Π ${ℐ}_{\Sigma },$ cridat , eixe és l'únic sistema Π més chicotet de $\Omega$ que conté cada element de $\Sigma .$ És igual a l'intersecció de tots els sistemes Π que contenen $\Sigma ,$ i pot descriure's explícitament com el conjunt de totes les possibles interseccions finitas no buides d'elements de $\Sigma :$

$\{E_1\cap \cdots \cap E_n:1\le n\in \mathbb{N}\text{and }{E}_1,\dots ,E_n\in \Sigma \}.$

Una família de conjunts no buida té la propietat de l'intersecció finita si i solament si el sistema Π que genera no conté el conjunt buit com a element.

Eixemples

• Per a qualsevol parell d'número real $a$ i $b,$ els intervals $(-\mathrm{\infty },a]$ formen un sistema Π, i els intervals $(a,b]$ formen un sistema Π si també s'inclou el conjunt buit.
• La topología (colecció de conjunts oberts) de qualsevol espai topològic és un sistema Π.
• Cada filtre és un sistema Π. Cada sistema Π que no conté el conjunt buit és un prefiltro (també conegut com a base de filtres).
• Per a qualsevol funció mesurable $f:\Omega \to ℝ,$ el conjunt  ${ℐ}_f=\{f^{-1}((-\mathrm{\infty },x]):x\in ℝ\}$ definix un sistema Π, i es denomina sistema Π per $f.$) Alternativament, $\{f^{-1}((a,b]):a,b\in ℝ,a<b\}\cup \{\varnothing \}$ definix un sistema Π generat per $f.$
• Si $P_1$ i $P_2$ són sistemes Π per a ${\Omega }_1$ i ${\Omega }_2,$ respectivament, llavors $\{A_1\times A_2:A_1\in P_1,A_2\in P_2\}$ és un sistema Π per al producte cartesiano ${\Omega }_1\times {\Omega }_2.$
• Cada àlgebra Σ és un sistema Π.

Vore també

• Anelle δ
• Cos de conjunts
• Ideal (teoria de conjunts)
• Independència (provabilitat)

• Sistema λ (Sistema de Dynkin)
• Teorema de la classe monòtona
• Distribució de provabilitat
• Anell de conjunts
• σ-àlgebra
• Ideal Σ
• Anell Σ

Bibliografia

• Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course, New York: Springer. doi:10.1007/b138932. ISBN 0-387-22833-0.
• Williams, David (1991). Probability with Martingales, Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.
• Durrett, Richard (2019). Probability: theory and examples, quinta edició, Cambridge University Press. OCLC 1100115281. ISBN 978-1-108-47368-2.