Teorema de Banach-Alaoglu

En anàlisis funcional i branques relacionades de les matemàtiques, la teorema de Banach-Alaoglu (també conegut com a teorema de Alaoglu) afirma que la bola unitat tancada del espai dual d'un espai vectorial normado és compacta en la topología dèbil*. Una prova habitual identifica la bola unitat en topología dèbil* com un subconjunt tancat d'un producte de conjunts compactes en la topología producte. Com a conseqüència del teorema de Tíjonov, este producte, i per tant la bola unitat en el seu interior, és compacte.

Stefan Banach va publicar en 1932 una demostració d'esta teorema per a espais vectorials normados separables, i la primera prova per al cas general la va publicar el matemàtic Leonidas Alaoglu en 1940.

Ya que la teorema de Banach-Alaoglu es prova a través del teorema de Tíjonov, es construïx sobre el marc axiomàtic de ZFC, in particular sobre l'axioma d'elecció. La major part de resultats de l'anàlisis funcional també es basa en ZFC. No obstant, la teorema no necessita l'axioma d'elecció en el cas separable, en este cas es té una demostració constructiva.

Esta teorema té aplicacions en física, a on es descriu el conjunt d'estats d'un àlgebra d'observables, ya que qualsevol estat es pot escriure com combinació llineal convexa d'estats purs.

La teorema

Siga X un espai normado, el seu dual X* és per tant també un espai normado (en la norma d'operadors).

La bola unitat tancada de X* és compacta sobre la topología dèbil*.

Açò és una motivació per a tindre diferents topología en un mateix espai ya que en contrast la bola unitat en la topología de norma és compacta si i solament si l'espai és finito-dimensional, pel lema de Riesz.

Teorema de Banach-Alaoglu sucesional

Un cas especial de la teorema de Banach-Alaoglu és la versió sucesional de la teorema, que afirma que la bola unitat tancada del espai dual d'un espai vectorial normado separable és sucesionalmente compacta en la topología dèbil*. De fet, la topología dèbil* sobre la bola unitat tancada del dual d'un espai separable és metrisable, i per tant compacidad i compacidad sucesional són equivalents.

Específicament, siga X un espai normado separable i B la bola unitat tancada en X^∗. Ya que X és separable, siga {x_n} un subconjunt dens numerable. Llavors es pot definir una mètrica per a x, i ∈ B:

$\rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-n}\frac{|⟨x-y,x_n⟩|}{1+|⟨x-y,x_n⟩|}$

a on $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ denota l'aplicació dual de X^∗ en X. La compacidad sucesional de B en esta mètrica es pot demostrar en un argument de diagonalización similar a l'empleat en la demostració del teorema de Arzelà-Ascoli.

Per la naturalea constructiva de la seua demostració (en contrast en el cas general, que està basat en l'axioma d'elecció), la teorema de Banach-Alaoglu sucesional s'usa a sovint en el camp de les equacions en derivades parcials per a construir solucions de EDP o problemes variacionales. Per eixemple, si es vol minimisar un funcional $F:X^{*}\to ℝ$  en el dual d'un espai vectorial normado separable X, una estratègia habitual és construir primer una successió minimizadora  $x_1,x_2,\dots \in X^{*}$  que s'aproxima a l'ínfim de F, usar la teorema de Banach-Alaoglu sucesional per a extraure una subsucesión que convergixca en la topología dèbil* a un llímit x, i establir llavors que x és un minimizador de F. L'últim pas sol requerir que F obedixca una propietat de semicontinuïtat inferior (sucesional) en la topología dèbil*.

Quan X^∗ és l'espai de mides de Radon finitas sobre la recta real (de manera que $X=C_0(ℝ)$

Vore també

• Teorema de Bishop-Phelps
• Teorema de Eberlein-Šmulian
• Teorema de Goldstine
• Teorema de James
• Lema de Mazur
• Teorema de Krein-Milman
• Teorema de compacidad delta

Referències

• (1991) Functional Analysis, 2nd edició, Boston, MA: McGraw-Hill. ISBN 0-07-054236-8. See section 3.15, p. 68.
• Meise, Reinhold; Vogt, {{{nom2}}} (1997). Introduction to Functional Analysis, Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-851485-9. See Theorem 23.5, p. 264.
• Köthe, Gottfried (1969). Topological Vector Spaces I, New York: Springer-Verlag. See §20.9.

Bibliografia adicional

• John B. Conway (1994). A course in functional analysis, 2nd edició, Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97245-5. See Chapter 5, section 3.
• Peter B. Lax (2002). Functional Analysis, Wiley-Interscience, pp. 120–121. ISBN 0-471-55604-1.