Teoria de Iwasawa

En teoria de números, la Teoria de Iwasawa és una teoria de mòdul de Galois dels grups de classes d'ideals, que fora postulada per Kenkichi Iwasawa, cap a 1950, com a part de la teoria dels camps ciclotòmics. Al començament de 1970, Barry Mazur va analisar generalisacions de la Teoria de Iwasawa a les varietats abelianas. Més recentment, al començament de la década de 1990, Ralph Greenberg va propondre una teoria de Iwasawa para motius.

Formulació

Iwasawa partix d'observar que existixen torres de camps en la teoria d'número algebraico, que el seu grup de Galois té un isomorfisme en el grup aditiu dels números sancers p-ádicos. Este grup, normalment escrit com Γ en la teoria i en notació multiplicativa, pot ser obtingut com un subgrup dels grups de Galois d'extensions de camp infinites (les quals són per la seua naturalea grups profinitos). El $Γ$ del grup; és el llímit invers dels grups aditius $𝐙 / p^{n} 𝐙$ , a on p és un número primo definit i $n = 1, 2, \dots$ . La qual cosa pot ser expressat d'una atra forma utilisant la dualitat de Pontryagin com: Γ és dual al grup discret de totes les $p$ -potència raïls de l'unitat en els número complejo.

Eixemple

Siga $ζ$ una raïl primitiva $p$ -ésima de l'unitat i considerem la següent torre de cossos de números:

K = 𝐐 (ζ) \subset K_{1} \subset K_{2} \subset \dots \subset 𝐂,

a on $K_{n}$ és el cos generat per una raïl primitiva $p^{n + 1}$ -iésima de l'unitat.

Esta torre de cossos té una unió $L$ . Llavors el grup de Galois de $L$ sobre $K$ és isomorfo a $Γ$ , puix el grup de Galois de $K_{n}$ sobre $K$ és $𝐙 / p^{n} 𝐙$ . Per a obtindre un mòdul de Galois interessant, Iwasawa va prendre el grup de classes d'ideals de $K_{n}$ , i va cridar $I_{n}$ a la seua part de $p$ -torsió. Existixen llavors les aplicacions norma $I_{m} \to I_{n}$ quan $m > n$ , i açò dona lloc a un sistema invers. Si cridem $I$ al llímit invers, es té llavors que $Γ$ actua en $I$ , i és convenient tindre una descripció d'esta acció.

La motivació era indubtablement que la $p$ -torsió en el grup de classe ideal de $K$ ya havia segut identificat per Kummer com el principal obstàcul per a la demostració directa del última teorema de Fermat. L'originalitat de l'enfocament de Iwasawa 'és escapar cap a infinit' en una nova direcció. En efecte $I$ és un mòdul sobre l'anell de grup $𝐙_{p} [Γ]$ . Est és un anell ben comportat (regular i de dos dimensions), lo que implica que és perfectament possible classificar mòduls sobre ell.

Referències

(2006).Springer-Verlag.
(2001).Math. Soc. Japan.Tòquio:30

335–385.

(1959).Bulletin of the American Mathematical Society.65(4)

183–226.ISSN 0002-9904.doi:10.1090/S0002-9904-1959-10317-7.

(2007).Eur. Math. Soc., Zürich.

335–357.doi:10.4171/022-1/14.Consultat el 8 de febrer de 2014.

(1990).Springer-Verlag.Berlin, New York:121
(1984).Inventiones Mathematicae.76(2)

179–330.ISSN 0020-9910.doi:10.1007/BF01388599.

(1991).Inventiones Mathematicae.103(1)

25–68.ISSN 0020-9910.doi:10.1007/BF01239508.

(2010).
(1997).Springer-Verlag.Berlin, New York:83
Andrew Wiles(1990).Annals of Mathematics.Annals of Mathematics.131(3)

493–540.doi:10.2307/1971468.

Este artícul conté una traducció derivada de «Teoría de Iwasawa» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.