Teoria de Kaluza-Klein

En la teoria de Kaluza-Klein original, a una entitat geomètrica de dimensió d convencionals, se'ls associa una entitat de dimensionalidad d+1: Un "punt" d'espai-temps de quatre dimensions és una curva tancada (d = 1), i la trayectòria (d=1) de dos partícules que colisionen pot estudiar-se sobre dos tubos que s'unixen (d=2).

La teoria de Kaluza-Klein és una generalisació de la teoria de la relativitat general. Va ser proposta per Theodor Kaluza (1921), i refinada per Oskar Klein (1926), i tracta d'unificar la gravitació i l'electromagnetisme, usant un model geomètric en un espai-temps de cinc dimensions.

Theodor Kaluza va publicar per primera volta en 1921 encara que els seus treballs es remonten a 1919 quan va comunicar alguns dels seus resultats a Albert Einstein. En essència la teoria usa les equacions de camp d'Einstein plantejades en un espai-temps de cinc dimensions, estes equacions baixe hipòtesis adicionals resulten donar per un costat les equacions d'Einstein convencionals per al camp gravitatorio i d'un atre costat les equacions de Maxwell del camp electromagnètic. Ademés apareix un camp escalar extra. En 1926 Oskar Klein va combinar les idees de Kaluza en algunes idees de la mecànica quàntica i va poder donar una estimació quantitativa tant de la cuantización de la càrrega com de la pequeñez i inobservabilidad pràctica de la dimensió adicional.

Modernamente sobre l'idea original de Kaluza i Klein s'han construït generalisacions de la teoria de la relativitat sobre espai-temps de més de cinc dimensions. A estes teories, també li les crida usualment, teories de Kaluza-Klein encara que diferixen en molts aspectes de la proposta original, retenen el principi de geometrización i atres aspectes de la teoria.

Història

La teoria general de la relativitat (1915) havia conseguit un considerable èxit en conseguir donar una interpretació geomètrica del camp gravitatorio. El propi Newton s'havia acontentat en descriure cuantitativamente la gravetat, renunciat a intentar explicar d'un modo més fonamental:

És inconcebible que una matèria bruta inanimada, sense la mediació d'alguna cosa més, que no és material, afecte a una atra matèria i actue sobre ella sense que existixca contacte mutu. Que la gravetat siga innata, inherent i essencial per a la matèria, de tal modo que un cos puga actuar sobre un atre a distància a través del buit sense la mediació de cap atra cosa per la qual i a través de la qual puga transmetre l'acció i la força d'estos cossos, de l'un a l'atre, és per a mi alguna cosa tan absurt que crec que no pot acostumar-se a això cap ser humà. Deu existir un agent que cause la gravetat actuant constantment d'acort en certes lleis; pero deixe a la consideració dels meus llectors el fet de si este agent ha de ser material o immaterial

Isaac Newton.

La nova teoria d'Einstein donava una explicació concreta de qué és la gravetat i com es propaga a través del buit, explicant-la com un efecte geomètric del espai-temps curve. Aixina la nova teoria d'Einstein introduïa un principi de geometrización que explicava tant fenomens gravitatorios prèviament coneguts de la teoria de la gravitació de Newton, com a fets prèviament inexplicados com l'alvanç del perihelio del planeta Mercurio i ademés era filosòficament satisfactòria en explicar qué era la gravetat realment.

Este èxit de la teoria general de la relativitat en explicar el camp gravitatorio, com l'efecte de la curvatura de dimensions adicionals, va animar al matemàtic Theodor Kaluza a tractar d'explicar el propi camp electromagnètic com l'efecte de curvatura en dimensions adicionals, usant les idees bàsiques del principi de geometrización. L'idea original de Kaluza és que l'espai-temps curve M en realitat podria tindre una estructura topològica MxS¹, per lo que cada geodèsica o curva de l'espai-temps en realitat podia ser vista com un chicotet tubo o cilindre enrollado al voltant de dita geodèsica, la pequeñez de la dimensió de enrollado podia explicar que la quinta dimensió no fora visible ordinàriament, encara que l'existència del camp electromagnètic devia ser interpretada com una prova de la seua existència. Kaluza va enviar una còpia del seu treball a Einstein el 21 d'abril de 1919, i Einstein li va contestar per carta a Kaluza explicant que no se li havia ocorregut que l'unificació entre la gravetat i l'electromagnetisme poguera conseguir-se «per mig d'un món cilíndric de cinc dimensions [quatre espacials i una temporal]» i que «a primera vista, m'agrada enormement l'idea que ha tingut vosté». Una semana més vesprada, Einstein va escriure de nou a Kaluza, en un major escepticisme: «He llegit tot el seu treball i ho trobe realment interessant. Fins ara, no he vist res en ell que em semble impossible. Per una atra part, tinc que admetre que els arguments que es plantegen pel moment no em semblen suficientment convincents», no obstant, posteriorment en 1921, transcorreguts més de dos anys, Einstein va tornar a escriure a Kaluza, despuix d'haver tingut temps de digerir el plantejament: «M'estic plantejant lo que vaig fer fa dos anys en dissuadir-li de publicar la seua idea sobre una unificació de la gravetat i l'electricitat... Si vosté ho desija, presentaré el seu treball a l'acadèmia».

Posteriorment, Oskar Klein (1926) va reprendre el resultat de Kaluza estudiant les restriccions de cuantización del moment llineal en la quinta dimensió comprimida, comparant el resultat en la càrrega cuantizada de l'electró i la llongitut de Planck i va calcular que el radi característic de el "loop" de la quinta dimensió devia medir uns 10^-30 cm, que explicaria per qué la quinta dimensió és virtualment invisible.

Teoria original de Kaluza-Klein

El punt de partida de Kaluza va ser introduir un espai-temps de cinc dimensions, que el tensor mètric de dit espai-temps contenia la mètrica cuatridimensional $g_{ij}$ i el potencial vector $A_i$ del camp electromagnètic, ademés de dos funcions escalares $\sigma ,\varphi$:

Ací seguim la convenció de que les mayúscules llatines A, B,... representen índexs tensoriales que van de 0 a 4, i les minúscules a, b,... representen índexs tensoriales de 0 a 3. Aixina les 5 coordenades d'un espai-temps de Kaluza serien $\{x^A\}=\{x^a,x^4\}=\{x^0,x^1,x^2,x^3,x^4\}$, a on la coordenada 0-ésima és la coordenada temporal i la coordenada 4-ésima és la coordenada associada a la quinta dimensió adicional i les atres tres són les coordenades espacials ordinàries.

El següent pas de la proposta de Kaluza és impondre artificialment l'anomenada condició cilíndrica que consistix en impondre que cap de les components del tensor pentadimensional ${\hat{g}}_{AB}$ depén de la coordenada adicional x⁴, en eixe cas les equacions de camp d'Einstein es reduïxen a les condicions de l'electromagnetisme clàssic més les equacions de la relativitat general, més una equació adicional per al camp escalar adicional:

Estes equacions tenen la següent interpretació: si es considera un espai-temps cuasivacío, d'topología $ℳ\times S^1$ cinc dimensions en la mètrica adequada, llavors el moviment d'una menuda partícula de prova carregada en el mateix s'assembla al que tindria dita partícula en un espai-temps de quatre dimensions $ℳ$ en el que s'ha introduït un camp electromagnètic. És dir, el camp electromagnètic efectiu que veu una partícula carregada en l'espai-temps ordinari pot interpretar-se com el resultat geomètric de la curvatura d'un espai-temps de cinc dimensions.

Bibliografia

• Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften.

7 pág..

• Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften.

7 pág.. (Text en espanyol)

• arXiv:hep-th/9410046.

14 pág.. (Text en espanyol)

• arXiv:gr-qc/9805018.

84 pág.. (Text en espanyol)

• J. M. Overduin & P. S. Wesson, "Kaluza-Klein Gravity", Physics Reports, p. 303-378, 1997, (una explicació general molt extensa, dels models de teories de Kaluza-Klein, 75 pàgines).