Teoria de Landau

La teoria de Landau en física és una teoria que Lev Landau va introduir en un intent de formular una teoria general de transicions de fase contínues (és dir, de segon orde).

Formulació de camp mig (sense correlació de llarc alcanç)

Artícul principal → Teoria de camp mig.

Landau estava motivat per a sugerir que l'energia lliure de qualsevol sistema deuria obedir dos condicions:

• Ser analítica.
• Obedir les simetria del hamiltoniano.

Donades estes dos condicions, un pot escriure (en el veïnat de la temperatura crítica, T_c) una expressió fenomenológica per a l'energia lliure com una expansió de Taylor en el paràmetro d'orde.

Eixemple modele Ising

Per eixemple, l'energia lliure del model de Ising en el veïnat de la transició de fase pot escriure's com seguix, a on la variable $\Psi$ és el camp d'espines de gra gros, conegut com paràmetro d'orde o magnetisació total:

$F=a+r{\Psi }^2+s{\Psi }^4+H\Psi +\mathrm{...}$

Podem truncar l'energia lliure a la quarta potència en $\Psi$ sense perdre la física de la transició de fase, pero en general, hi ha térmens d'orde superior presents. Per a que el sistema siga termodinámicamente estable, el coeficient de la potencia parell més alta del paràmetro d'orde deu ser positiu. En este cas, trobem que $s>0$, de modo que l'energia lliure estiga llimitada.

La transició de fase ocorre a alguna temperatura crítica $T_c$. Notant que el mínim en l'energia lliure canvia de $\Psi =0$ a $\Psi \ne 0$ quan el paràmetro $r$ canvia de signe, podem escriure el paràmetro $r$ en funció de la temperatura com

$r=r_0(T-T_c)$

on $r_0$ És una constant de temperatura independent. El constant $a$ pot prendre's en seguritat com zero perque és simplement un canvi constant en l'energia lliure, que no té cap efecte en la física de la transició de fase.

La teoria del model de Ising de Landau primer va elevar el paràmetro d'orde a la prominència. Tinga en conte que el model Ising exhibix la següent simetria discreta: si es gira cada gir del model, de modo que $S_i\to -S_i$, on $S_i$ és el valor de $i^{th}$ spin, el hamiltoniano (i, en conseqüència, l'energia lliure) permaneix sense canvis per al camp extern zero $(H=0)$. Esta simetria es reflectix en els poders pares de $\Psi$ en $F$.

Aplicacions

La teoria de Landau ha segut extraordinàriament útil. Mentres que els valors exactes dels paràmetros $r$ i $s$ eren desconeguts, els exponents crítics encara podien calcular-se en facilitat, i solament depenien dels supòsits originals de simetria i analiticidad. Per al cas del model de Ising, la magnetisació d'equilibri $\Psi$ assumix el següent valor per baix de la temperatura crítica $T_c$:

$\Psi =\pm \sqrt{\frac{-r_0(T-T_c)}{2s}}.$

En eixe moment, se sabia experimentalment que la curva de coexistència líquit-gas i la curva de magnetisació de ferromagneto exhibien una relació d'escala de la forma $|T-T_c{|}^{\beta }$, a on $\beta$ va ser misteriosament igual per a abdós sistemes. Est és el fenomen de l'universalitat. També se sabia que els models simples de líquit-gas són exactament mapeables a models magnètics simples, lo que implica que els dos sistemes posseïxen les mateixes simetria. Després es va deduir de la teoria de Landau per qué estos dos sistemes aparentment dispars deurien tindre els mateixos exponents crítics, a pesar de tindre diferents paràmetros microscòpics. Ara se sap que el fenomen de l'universalitat sorgix per atres raons (vore Grup de renormalización). De fet, la teoria de Landau prediu els exponents crítics incorrectes per als sistemes Ising i líquit-gas.

La gran virtut de la teoria de Landau és que fa prediccions específiques sobre quin tipo de comportament no analític es deuria vore quan l'energia lliure subjacent és analítica. Llavors, tota la no analiticidad en el punt crític, els exponents crítics, es deu a que el valor de equilibri del paràmetro d'orde canvia de forma no analítica, com una raïl quadrada, cada volta que l'energia lliure pert el seu mínim únic.

L'extensió de la teoria de Landau per a incloure fluctuacions en el paràmetro d'orde mostra que la teoria de Landau solament és estrictament vàlida prop dels punts crítics dels sistemes ordinaris en dimensions espacials superiors a 4. Esta és la dimensió crítica superior, i pot ser molt més alta que quatre en una transició de fase més finamente ajustada. En l'anàlisis de Mukhamel del punt isotrópico de Lifschitz, la dimensió crítica és 8. Açò es deu a que la teoria de Landau és una teoria de camp mija i no inclou correlació de llarc alcanç.

Esta teoria no explica la no analiticidad en el punt crític, pero quan s'aplica a la transició de fase superfluida i superconductora, la teoria de Landau va servir d'inspiració per a una atra teoria, la teoria de la superconductividad de Ginzburg-Landau.

Incloent correlació de llarc alcanç

Considere el model Ising d'energia lliure anterior. Suponga que el paràmetro d'orde $\Psi$ i camp magnètic extern, $H$, pot tindre variacions espacials. Ara, es pot supondre que l'energia lliure del sistema pren la següent forma modificada:

$F:=\int d^{D}x(a(T)+r(T){\psi }^2(x)+s(T){\psi }^4(x)+f(T)(\mathrm{\nabla }\psi (x){)}^2+h(x)\psi (x)+𝒪({\psi }^6;(\mathrm{\nabla }\psi {)}^4))$

a on $D$ és la dimensionalidad espacial total. Llavors,

$⟨\psi (x)⟩:=\frac{\text{Tr}\psi (x){\mathrm{e}}^{-\beta H}}{Z}$

Suponga que, per a un destorbament magnètic extern localisada $h(x)\to 0+h_0\delta (x)$, el paràmetro d'orde pren la forma $\psi (x)\to {\psi }_0+\varphi (x)$ . Llavors,

$\frac{\delta ⟨\psi (x)⟩}{\delta h(0)}=\frac{\varphi (x)}{h_0}=\beta (⟨\psi (x)\psi (0)⟩-⟨\psi (x)⟩⟨\psi (0)⟩)$

És dir, la fluctuació. $\varphi (x)$ en el paràmetro orde correspon a la correlació orde-orde. Per lo tant, descuidar esta fluctuació (com en l'enfocament de camp mig anterior) correspon a descuidar la correlació orde-orde, que divergix prop del punt crític.

També es pot resoldre per a $\varphi (x)$, del com l'exponent d'escala, $\nu$, per a llongitut de correlació $\xi \sim (T-T_c{)}^{-\nu }$ es pot deduir a partir d'estos, el criteri de Ginzburg per a la dimensió crítica superior per a la validea de la teoria de Landau de camp mig de Ising (el que no té correlació de llarc alcanç) es pot calcular com:

$D\ge 2+2\frac{\beta }{\nu }$

En el nostre model actual de Ising, la teoria de Landau de camp mig dona $\beta =1/2=\nu$ i llavors (la teoria de Landau de camp mig de Ising) és vàlida solament per a una dimensionalidad espacial major o igual a 4 (en els valors marginals de $D=4$, hi ha chicotetes correccions als exponents). Esta versió modificada de la teoria de Landau de camp mig a voltes també es coneix com la teoria de Landau-Ginzburg de les transicions de fase de Ising. Com a aclariment, també existix una teoria de Landau-Ginzburg específica per a la transició de fase de superconductividad, que també inclou fluctuacions.