Vector director

Un vector director és un vector que dona la direcció d'una recta i també l'orienta, és dir, li dona un sentit determinat.

En el pla, en l'espai tridimensional o en qualsevol espai vectorial, una recta es pot definir en dos punts o, de manera equivalent, en un punt i un vector director. En efecte, a partir de dos punts distints A i B s'obté un punt, digam A, i un vector director o = AB. Recíprocamente, en un punt A de la recta i un vector director o es construïx un segon punt de la mateixa, definit per AB = o. Esta recta s'escriu (AB) o (A, o).

Archiu:Vector director.png

En un pla proveït en un sistema de coordenades cartesianas, un vector director de la recta D: i = ax + b és o(1, a), i una recta de equació cartesiana Δ: ax + by = c té com vectores directors o( -b, a) i -o(b, -a) entre uns atres. Si el sistema de coordenades és ortonormal (ortogonal i normal, és dir unitari) llavors el vector v(a, b) és perpendicular a la recta. Açò permet trobar ràpidament una equació cartesiana d'una recta (A, o), com ho mostra el següent eixemple:

Archiu:Vector director 2.png

En l'espai, l'equació ax + by + cz = d no és la d'una recta, sino la d'un pla. Les rectes es conceben com a intersecció de dos plans i per lo tant es definixen per un sistema de dos equacions de plans, lo que no resulta pràctic puix esta presentació no permet dibuixar ràpidament la recta, al no donar punt ni vector director. No obstant existix una atra manera de definir les rectes de l'espai: a partir d'un punt i d'un vector director. En efecte, siga A(x_a, i_a, z_a) un punt de l'espai, o(o_x, o_i, o_z) un vector no nul del mateix.

La recta que passa per a i que admet o com a vector director és el conjunt dels punts M tal que AM = t·o, en t un real qualsevol.

Esta és una definició paramètrica de la recta a on el paràmetro és t. Si B és el punt que correspon a t = 1, llavors AM = t·o definix el punt M com baricentre de {(A, 1-t),  (B, t)}.

Escrivint les coordenades del punt M(x, i, z) obtenim una equació paramètrica de la recta (A, o):

x = x_a + t·o_x

i = i_a + t·o_i

z = z_a + t·o_z

Esta equació dona de colp i repent un punt de la recta (en els térmens constants), un vector director (en els térmens variables).