Anex:Grups de simetria esfèrica

Els grups de simetria esfèrica finita també es denominen grups de punts en tres dimensions. Hi ha cinc classes de simetria que tenen dominis fonamentals triangulars: diédrico, cíclico, tetraèdric, octaèdric i icosaédrico.

Este artícul enumera els grups utilisant la notació de Schoenflies, la notació de Coxeter, i la notació orbifold, i també figura la seua orde. John Conway va utilisar una variació de la notació Schoenflies, basada en l'estructura algebraica dels grups dels cuaterniones, etiquetada en una o dos lletres mayúscules i subíndexs d'número entero. L'orde del grup es definix com el subíndex, a menos que l'orde es duplique per als símbols en un prefix més o menys, "±", lo que implica una simetria central.

També es proporciona la notació de Hermann-Mauguin (notació internacional). Els grups cristalográficos, 32 en total, són un subconjunt en elements d'orde 2, 3, 4 i 6.

Simetria involutiva

Hi ha quatre grups de simetria involutivas: sense simetria (C₁), simetria especular (C_s), simetria rotacional doble (C₂) i simetria central (C_i).

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orde	Abstracte	Domini fonamental
1	Plantilla:Overline	11	C1	C1	][ [ ]+	1	Z1
2	Plantilla:Overline	22	D1 = C2	D2 = C2	[2]+	2	Z2
Plantilla:Overline	Plantilla:Overline	×	Ci = S2	CC2	[2+,2+]	2	Z2
Plantilla:Overline = m	1	*	Cs = C1v = C1h	±C1 = CD2	[ ]	2	Z2

Simetria cíclica

Hi ha quatre famílies de simetria cíclica infinites, en n = 2 o superior. (n pot ser 1 com un cas especial, com sense simetria)

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orde	Abstracte	Domini fonamental
Plantilla:Overline	Plantilla:Overline	2×	S4	CC4	[2+,4+]	4	Z4
2/m	Plantilla:Overline2	2*	C2h = D1d	±C2 = ±D2	[2,2+] [2+,2]	4	Z4

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orde	Abstracte	Domini fonamental
2 3 4 5 6 n	Plantilla:Overline Plantilla:Overline Plantilla:Overline Plantilla:Overline Plantilla:Overline Plantilla:Overline	22 33 44 55 66 nn	C2 C3 C4 C5 C6 Cn	C2 C3 C4 C5 C6 Cn	[2]+ [3]+ [4]+ [5]+ [6]+ [n]+	2 3 4 5 6 n	Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Zn
2mm 3m 4mm 5m 6mm nm (n és impar) nmm (n és parell)	2 3 4 5 6 n	*22 *33 *44 *55 *66 *nn	C2v C3v C4v C5v C6v Cnv	CD4 CD6 CD8 CD10 CD12 CD2n	[2] [3] [4] [5] [6] [n]	4 6 8 10 12 2n	D4 D6 D8 D10 D12 D2n
Plantilla:Overline Plantilla:Overline Plantilla:Overline Plantilla:Overline -	Plantilla:Overline Plantilla:Overline Plantilla:Overline Plantilla:Overline Plantilla:Overline	3× 4× 5× 6× n×	S6 S8 S10 S12 S2n	±C3 CC8 ±C5 CC12 CC2n / ±Cn	[2+,6+] [2+,8+] [2+,10+] [2+,12+] [2+,2n+]	6 8 10 12 2n	Z6 Z8 Z10 Z12 Z2n
3/m=Plantilla:Overline 4/m 5/m=Plantilla:Overline 6/m n/m	Plantilla:Overline2 Plantilla:Overline2 Plantilla:Overline2 Plantilla:Overline2 Plantilla:Overline2	3* 4* 5* 6* n*	C3h C4h C5h C6h Cnh	CC6 ±C4 CC10 ±C6 ±Cn / CC2n	[2,3+] [2,4+] [2,5+] [2,6+] [2,n+]	6 8 10 12 2n	Z6 Z2×Z4 Z10 Z2×Z6 Z2×Zn ≅Z2n (n impar)

Simetria diédrica

Hi ha tres famílies de simetria diédrica infinites, en n = 2 o superior (n pot ser 1 com a cas especial).

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orde	Abstracte	Domini fonamental
222	Plantilla:Overline.Plantilla:Overline	222	D2	D4	[2,2]+	4	D4
Plantilla:Overline2m	4Plantilla:Overline	2*2	D2d	DD8	[2+,4]	8	D4	Archiu:Sphere symmetry group d2d.png
mmm	22	*222	D2h	±D4	[2,2]	8	Z2×D4	Archiu:Sphere symmetry group d2h.png

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orde	Abstracte	Domini fonamental
32 422 52 622	Plantilla:Overline.Plantilla:Overline Plantilla:Overline.Plantilla:Overline Plantilla:Overline.Plantilla:Overline Plantilla:Overline.Plantilla:Overline Plantilla:Overline.Plantilla:Overline	223 224 225 226 22n	D3 D4 D5 D6 Dn	D6 D8 D10 D12 D2n	[2,3]+ [2,4]+ [2,5]+ [2,6]+ [2,n]+	6 8 10 12 2n	D6 D8 D10 D12 D2n	Archiu:Sphere symmetry group d3.png
Plantilla:Overlinem Plantilla:Overline2m Plantilla:Overlinem Plantilla:Overline.2m	6Plantilla:Overline 8Plantilla:Overline 10.Plantilla:Overline 12.Plantilla:Overline nPlantilla:Overline	2*3 2*4 2*5 2*6 2n	D3d D4d D5d D6d Dnd	±D6 DD16 ±D10 DD24 DD4n / ±D2n	[2+,6] [2+,8] [2+,10] [2+,12] [2+,2n]	12 16 20 24 4n	D12 D16 D20 D24 D4n	Archiu:Sphere symmetry group d3d.png
Plantilla:Overlinem2 4/mmm Plantilla:Overlinem2 6/mmm	32 42 52 62 n2	*223 *224 *225 *226 *22n	D3h D4h D5h D6h Dnh	DD12 ±D8 DD20 ±D12 ±D2n / DD4n	[2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n]	12 16 20 24 4n	D12 Z2×D8 D20 Z2×D12 Z2×D2n ≅D4n (n impar)	Archiu:Sphere symmetry group d3h.svg

Simetria polièdrica

Vore també: Grups polièdrics

Hi ha tres tipos de simetria polièdrica: la simetria tetraèdrica, la simetria octaèdrica i la simetria icosaédrica, cridats aixina pels poliedres regulars de cares triangulars en estes simetria.

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orde	Abstracte	Domini fonamental
23	Plantilla:Overline.Plantilla:Overline	332	T	T	[3,3]+ = [4,3+]+	12	A4	Archiu:Sphere symmetry group t.svg
mPlantilla:Overline	4Plantilla:Overline	3*2	Th	±T	[4,3+]	24	2×A4	Archiu:Sphere symmetry group th.svg
Plantilla:Overline3m	33	*332	Td	TO	[3,3] = [1+,4,3]	24	S4	Archiu:Sphere symmetry group td.svg

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orde	Abstracte	Domini fonamental
432	Plantilla:Overline.Plantilla:Overline	432	O	O	[4,3]+ = [[ 3,3]]+	24	S4	Archiu:Sphere symmetry group o1.svg
mPlantilla:Overlinem	43	*432	Oh	±O	[4,3] = [[ 3,3]]	48	2×S4	Archiu:Sphere symmetry group oh.svg

Internac.	Geo	Orbifold	Schöenflies	Conway	Coxeter	Orde	Abstracte	Domini fonamental
532	Plantilla:Overline.Plantilla:Overline	532	I	I	[5,3]+	60	A5	Archiu:Sphere symmetry group i.svg
Plantilla:Overline2/m	53	*532	Ih	±I	[5,3]	120	2×A5	Archiu:Sphere symmetry group ih.svg

Vore també

• Grup de punts cristalográficos
• Grup triangular
• Anex:Grups de simetria plana
• Grups de punts en dos dimensions

Llectures relacionades

• Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), Appendix I

• Sands, Donald E. (1993). «Crystal Systems and Geometry», Introduction to Crystallography, Mineola, New York: Dover Publications, Inc., p. 165. ISBN 0-486-67839-3.
• On Quaternions and Octonions, 2003, John Horton Conway and Derek A. Smith Plantilla:Isbn
• The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Plantilla:Isbn
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Àsia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, Plantilla:Isbn [1]
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, Table 11.4 Finite Groups of Isometries in 3-space

Enllaços externs

• Grups de simetria esfèrica finita
• Schoenflies symbol en MathWorld.
• Crystallographic point groups en MathWorld.
• Poliedres canònics més simples de cada tipo de simetria, per David I. McCooey