Cos localment compacte

En àlgebra, un cos localment compacte és aquell la topología del qual forma un espai de Hausdorff localment compacte. Este tipo de cossos es varen introduir originalment en anàlisis p-ádico, ya que els cossos ${\mathbb{Q}}_p$ són espais topològics localment compactes construïts a partir de la norma $|\cdot {|}_p$ en $\mathbb{Q}$. La topología (i l'estructura de l'espai mètric) és essencial, perque permet construir anàlecs dels cossos d'número algebraico en el context p-ádico.

Estructura

Espais vectorials de dimensió finita

Un de les teoremes d'estructura útils per a espais vectorials sobre cossos localment compactes és que els espais vectorials de dimensió finita tenen solament una classe de norma d'equivalència: la norma del suprem. ^{pg. 58-59}

Extensions de cossos finitos

Donada una extensió d'un cos finito

$K/F$

sobre un cos localment compacte

$F$

, hi ha com a màxim una norma de cos única

$|\cdot {|}_K$

en

$K$

que estén la norma del cos

$|\cdot {|}_F$

; és dir,

$|f{|}_K=|f{|}_F$

per a tot

$f\in K$

que estiga en l'image de

$F\hookrightarrow K$

. Tinga's en conte que açò es desprén de la teorema anterior i del següent recurs: si

$||\cdot |{|}_1,||\cdot |{|}_2$

són dos normes equivalents, i

$||x|{|}_1<||x|{|}_2$

, llavors per a una constant fixa

$c_1$

existix un

$N_0\in \mathbb{N}$

tal que

${\left(\frac{||x|{|}_1}{||x|{|}_2}\right)}^N<\frac{1}{c_1}$

per a tot

$N\ge N_0$

, ya que la successió generada a partir de les potències de

$N$

convergix a

$0$

.

Extensions finitas de Galois

Si l'índex de l'extensió és de grau

$n=[K:F]$

i

$K/F$

és una extensió de Galois (per lo que totes les solucions al polinomi mínim de qualsevol

$a\in K$

també estan contingudes en

$K$

), llavors la norma de cos única

$|\cdot {|}_K$

es pot construir usant la norma d'un cos ^{pg. 61}. Açò es definix com

$|a{|}_K=|N_{K/F}(a){|}^{1/n}$

. Tinga's en conte que la raïl enèsima és necessària per a tindre una norma de cos ben definida que s'estenga sobre

$F$

, ya que donat qualsevol

$f\in K$

en l'image de

$F\hookrightarrow K$

, la seua norma és

$N_{K/F}(f)=\det m_f=f^n$

, ya que actua com a multiplicació escalar en l'espai vectorial

$F$ $K$

.

Eixemples

Cossos finitos

Tots els cossos finitos són localment compactes, ya que poden equipar-se en una topología discreta. En particular, qualsevol cos en topología discreta és localment compacte, ya que cada punt és un entorn de sí mateixa, i també el tancament de l'entorn, i per lo tant és compacte.

Cossos locals

Els principals eixemples de cossos localment compactes són els racionals p-ádicos ${\mathbb{Q}}_p$ i les extensions finitas $K/{\mathbb{Q}}_p$. Cada u d'estos casos són eixemples de cossos locals. Tinga's en conte que la clausura algebraica ${\bar{\mathbb{Q}}}_p$ i la seua completación ${ℂ}_p$ no són cossos localment compactes ^{pg. 72} en la seua topología estàndar.

Extensions de cos de _pX

Les extensions de cos

$K/{\mathbb{Q}}_p$

es poden determinar usant el lema de Hensel. Per eixemple,

$f(x)=x^2-7=x^2-(2+1\cdot 5)$

no té solucions en

${\mathbb{Q}}_5$

, ya que

$\frac{d}{dx}(x^2-5)=2x$

solament és igual a zero mod

$p$

si

$x\equiv 0(p)$

, pero

$x^2-7$

no té solucions mod

$5$

. Per lo tant,

${\mathbb{Q}}_5(\sqrt{7})/{\mathbb{Q}}_5$

és una extensió de cos quadràtica.