Demostració de Furstenberg de la infinitud dels número primo

En matemàtiques, particularment en teoria de números, la demostració de Furstenberg de la infinitud dels número primo és una prova topològica de que els número entero contenen una cantitat infinita de número primo.

Quan s'examina en detalle, la demostració és menys una afirmació topològica que un enunciat sobre certes propietats de les progressions aritmètiques. A diferència de la demostració clàssica del teorema de Euclides, l'enunciat de Furstenberg es val de la reducció a l'absurt. La demostració va ser publicada en 1955 en el American Mathematical Monthly mentres Furstenberg era encara un alumne de pregrado en l'Universitat Yeshiva de Nova York.

Demostració de Furstenberg

Definixca's una topología sobre els número entero $\mathbb{Z}$, cridada topología de sancers espayats uniformemente, declarant un subconjunt O ⊆ $\mathbb{Z}$ com un conjunt obert si i solament si és una unió de successions aritmètiques S(a,b) para a ≠ 0, o és buit (lo que pot vore's com una unió nula -unió buida- de successions aritmètiques), a on

$S(a,b)=\{an+b\mid n\in \mathbb{Z}\}=a\mathbb{Z}+b.$

Equivalentement, O és obert si i solament si per a cada x en O existix algun sancer a distint de zero tal que S(a,x) ⊆ O. Els axioma d'una topología es verifiquen fàcilment:

• Ø és obert per definició, i $\mathbb{Z}$ és simplement la successió S(1,0), i per lo tant també és obert.
• Qualsevol unió de conjunts oberts és oberta: per a qualsevol conjunt de conjunts oberts O_i i x en la seua unió O, qualsevol dels números a_i per al qual S(a_i, x) ⊆Oi també es demostra que S(ai, x) ⊆ O.
• L'intersecció de dos conjunts oberts (i, per lo tant, un número finito d'ells) és oberta: siguen O₁ i O₂ conjunts oberts i siga x ⊆ O₁ n O₂ (en els números a₁ i a₂ pertanyen al conjunt). Siga a el mínim comú múltiple de a₁ i a₂. Llavors S(a,x) ⊆ S(a_i,x) ⊆ O_i.

Esta topología té dos propietats notables:

1. Ya que qualsevol conjunt obert no buit conté una successió infinita, un conjunt no buit finito no pot ser obert. Dit d'un atre modo, el complement d'un conjunt finito no buide no pot ser un conjunt tancat.
2. Els conjunts base S(a,vb) són abdós oberts i tancats: són oberts per definició, i es pot escriure que S(a,vb) com a complement d'un conjunt obert de la següent manera:

$S(a,b)=\mathbb{Z}\setminus \bigcup _{j=1}^{a-1}S(a,b+j).$

Els únics sancers que no són múltiples sancers d'número primo són v1 i +1, és dir,

$\mathbb{Z}\setminus \{-1,+1\}=\bigcup _{p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{o}}S(p,0).$

Ara be, per la primera propietat topològica, el conjunt del costat esquerre no pot ser tancat. Per un atre costat, per la segona propietat topològica, els conjunts S(p,v0) són tancats. Per lo tant, si solament hi haguera un número finito d'número primo, el conjunt del costat dret seria una unió finita de conjunts tancats i, per lo tant, seria tancat. Açò seria una contradicció, per lo que deu haver un número infinit d'número primo.

Propietats topològiques

La topología de sancers espayats uniformemente sobre $\mathbb{Z}$ és la topología induïda per l'inclusió de $\mathbb{Z}\subset \hat{\mathbb{Z}}$, a on $\hat{\mathbb{Z}}$ és l'anell sancer profinito en la seua topología profinita.

És homeomórfico sobre els número racional $\mathbb{Q}$ en el subespacio topològic heretat de la recta real, lo que deixa clar que qualsevol subconjunt finito, com $\{-1,+1\}$, no pot ser obert.

Bibliografia

• Plantilla:Cite document
• Keith Conrad https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/primestopology.pdf