Equació del fluix d'aigua subterrànea

Utilisada en hidrogeología, la equació del fluix d'aigua subterrànea és la relació matemàtica que s'utilisa per a descriure el fluix d'aigua subterrànea a través d'un aqüífer. El fluix transitori de l'aigua subterrànea es descriu per mig d'una forma de l'equació de difusió, similar a l'utilisada en la transferència de calor per a descriure el fluix de calor en un sòlit (conducció de calor). El fluix en estat estacionario de l'aigua subterrànea es descriu per mig d'una forma de l'equació de Laplace, que és una forma de fluix potencial i té anàlecs en numerosos camps.

L'equació del fluix d'aigua subterrànea es deriva a sovint per a un chicotet volum elemental representatiu (REV), en el que se supon que les propietats del mig són efectivament constants. Es realisa un balanç de massa de l'aigua que entra i ix d'este chicotet volum, expressant-se els térmens de fluix en la relació en térmens d'altura per mig de l'us de l'equació constitutiva denominada llei de Darcy, que requerix que el fluix siga laminar. Atres enfocaments es basen en models basats en agents per a incorporar l'efecte d'aqüífers complexos com els càrstics o les roques fracturades (és dir, volcàniques).

Balanç de massa

Es deu realisar un balanç de massa i utilisar-ho junt en la llei de Darcy per a aplegar a l'equació de fluix transitori d'aigua subterrànea. Este balanç és anàlec al balanç d'energia utilisat en la transferència de calor per a aplegar a l'equació de la calor. Es tracta simplement d'una afirmació contable, segons la qual, per a un volum de control donat, a banda de les fonts o sumideros, la massa no es pot crear ni destruir. La conservació de la massa establix que, per a un increment de temps donat (Δt), la diferència entre la massa que entra a través dels llímits, la massa que ix a través dels llímits i les fonts dins del volum és el canvi en l'almagasenament.

___MATH_0___

Equació de difusió (fluix transitori)

La massa pot representar-se com densitat multiplicada per volum, i en la majoria de les condicions, l'aigua pot considerar-se incompresible (la densitat no depén de la pressió). Els fluix de massa a través dels llímits es convertixen llavors en fluix de volum (com es troba en la llei de Darcy). Utilisant la série de Taylor per a representar els térmens de fluix d'entrada i eixida a través dels llímits del volum de control, i utilisant el teorema de la divergència per a convertir el fluix a través del llímit en un fluix sobretot el volum, la forma final de l'equació de fluix d'aigua subterrànea (en forma diferencial) és:

___MATH_1___

Açò es coneix en atres camps com l'equació de difusió o equació de la calor, i és una equació diferencial parcial (PDE) parabòlica. Esta expressió matemàtica indica que el canvi en l'altura hidràulica en el temps (costat esquerre) és igual a la divergència negativa del fluix (q) i els térmens font (G). Esta equació té com a incògnites tant l'altura com el fluix, pero la llei de Darcy relaciona el fluix en les altures hidràuliques, per lo que substituir-ho pel fluix (q) dona com a resultat

___MATH_2___

Ara be, si la conductivitat hidràulica (K) és espacialment uniforme i isotrópica (en lloc d'un tensor), es pot traure de la derivada espacial, simplificant-la al laplaciano, lo que dona com resultat l'equació

___MATH_3___

En dividir pel almagasenament específic (S_s), es coloca la difusividad hidràulica (α = K/S_s o, de forma equivalent, α = T/S) en el costat dret. La difusividad hidràulica és proporcional a la velocitat a la que un pols de pressió finito es propagarà a través del sistema (els valors grans de “'α”' conduïxen a una ràpida propagació de les senyals). L'equació del fluix d'aigua subterrànea es convertix llavors en

___MATH_4___

A on el terme sumidero/font, «G», ara té les mateixes unitats, pero es dividix pel terme d'almagasenament adequat (tal i com es definix per la substitució de la difusividad hidràulica).

Coordenades cartesianes rectangulars

Archiu:MODFLOW 3D grid.png

Malla tridimensional de diferències finitas utilisada en MODFLOW

Especialment quan s'utilisen models de diferències finitas de cuadrícula rectangular (per eixemple, MODFLOW, creat pel USGS), treballem en coordenades cartesianes. En estes coordenades, l'operador laplaciano general es convertix (per al fluix tridimensional) específicament en

___MATH_5___

El còdic MODFLOW discretiza i simula una forma ortogonal tridimensional de l'equació que rig el fluix d'aigua subterrànea. No obstant, té l'opció de funcionar en modo «cuasi-3D» si l'usuari ho desija; en este cas, el model tracta en les miges verticals «T» i «S», en lloc de «k» i «S_s». En el modo cuasi-3D, el fluix es calcula entre capes horisontals 2D utilisant el concepte de fuga.

Coordenades cilíndriques circulares

Un atre sistema de coordenades útil són les coordenades cilíndriques 3D (normalment quan un pou de bombeig és una font llineal situada en l'orige, paralela a l'eix «z», que provoca un fluix radial convergent). En estes condicions, l'equació anterior es convertix en (sent «r» la distància radial i «θ» l'àngul),

___MATH_6___

Hipòtesis

Esta equació representa el fluix cap a un pou de bombeig (un sumidero de força «G»), situat en l'orige. Tant esta equació com la versió cartesiana anterior són equacions fonamentals en el fluix d'aigües subterrànees, pero per a aplegar a este punt es requerix una simplificació considerable. Algunes de les principals hipòtesis que s'han tingut en conte en abdós equacions són:

• el material de l'aqüífer és incompresible (no hi ha canvis en la matriu per canvis en la pressió, també conegut com subsidencia),
• l'aigua té una densitat constant (incompresible),
• qualsevol càrrega externa sobre l'aqüífer (per eixemple, sobrecàrrega, pressió atmosfèrica) és constant,
• per al problema radial 1D, el pou de bombeig penetra completament en un aqüífer sense fugues,
• l'aigua subterrànea fluïx llentament (número de Reynolds menor que l'unitat), i
• la conductivitat hidràulica (K) és un isotrópico escalar.

A pesar d'estes grans suposicions, l'equació del fluix d'aigua subterrànea representa be la distribució dels caps en els aqüífers per una distribució transitòria de fonts i sumideros.