Estrela pentagonal

Estrela pentagonal

Una estrela pentagonal, també cridada pentagrama, pentáculo, pentalfa, pentángulo, estrela de cinc puntes o estrela pitagórico és un polígon estrelat de cinc vèrtiços dibuixat en cinc segments de recta consecutius tal que cada u talla a atres dos. És un polígon complex.

També se li denomina pentalfa perque el seu dibuix posseïx cinc lletres A (alpha en grec) i pentángulo per posseir 5 ànguls aguts.

Història

Potser conegut pels antics mesopotámicos (per eixemple els sumerio), va ser molt considerat per Pitágoras qui va observar la seua relació en el número áureo. La majoria dels autors opinen que el pentagrama va ser primer conegut i estudiat pels babilonios i d'allí ho varen prendre els pitagórico, per la coincidente associació del pentàgon regular en el cosmos o orde diví. No obstant, hi ha els qui ho posen en dubte, puix el sumari atribuït als neoplatónicos Eudemo de Rodas i Proclo menciona que els pitagórico solament coneixien a tres de les figures còsmiques (poliedres regulars), desconeixent al octaedre i l'icosaedre. L'explicació donada és que els varen prendre de la forma dels cristals naturals i no varen sorgir d'una deducció matemàtica, lo que aniria en contra de l'herència babilònica. Des de llavors se li va donar un us al mateix temps místic-màgic i un atre científic; en la màgia el pentalfa o pentáculo en la seua punta cap a dalt sol significar en ser humà (de fet: durant l'Edat Mija s'esbossaven allargats pentalfas para després sobre ells dibuixar les figures humanes, i açò pot vore's en el célebre gravat de Leonardo Dona Vinci.

En ciència, el pentagrama és una interessant figura que grafica vàries lleis matemàtiques: guarda una estreta relació en el número áureo, la successió de Fibonacci, l'espiral logarítmica, fractalés i logaritmos, entre uns atres, i per això en molts fenomens de la naturalea.

Símbol distintiu

L'icon distintiu dels pitagórico va ser una estrela regular de cinc puntes. Un pentàgon regular, estrelat o convexo, comporta virtualment un conjunt de relacions geomètriques, que descobertes pels pitagórico, varen concloure en la troballa d'una proporció distinguida. Sigles més vesprada, Luca Pacioli va denominar a esta proporció com Cuentos y cuentas de los matemáticos: En este tema apareix també el «número áureo».

En el cristianisme el pentagrama geomètric en el vèrtiç meridiano apuntant cap a dalt significa les cinc llagues de Crist, i es va usar ocasionalment en esteles.

Característiques

Un pentagrama ilustrant la secció áurea continguda en ell.

Un pentagrama regular és un polígon estrelat que el seu símbol de Schläfli és {5/2}. Es dibuixa senzillament partint d'un pentàgon regular, unint els cantons alternats en llínees i borrant el pentàgon original. També poden estendre's els costats del pentàgon fins a la seua intersecció, obtenint un pentagrama més gran.

La proporció áurea, φ = (1+√5)/2 = 1.618…, que satisfà

$\varphi =1+2\mathrm{sen}(\pi /10)=1+2\mathrm{sen}18^{\circ }$

$\varphi =1/(2\mathrm{sen}(\pi /10))=1/(2\mathrm{sen}18^{\circ })$

$\varphi =2\cos (\pi /5)=2\cos 36^{\circ }$

té un paper important en els pentàgons i pentagrames regulars. Cada llínea està dividida en segments més menuts, i si es dividix la llongitut del segment més llarc pel segment més curt de qualsevol parell de segments, s'obté φ.

$\varphi =\frac{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}\mathrm{o}}{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}}=\frac{\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}}{\mathrm{a}\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}}=\frac{\mathrm{a}\mathrm{z}\mathrm{u}\mathrm{l}}{\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{a}}$

També, el costat del pentàgon major és una llínea verda, mentes que la diagonal del pentagrama menor és de la mateixa llongitut que el segment de llínea blava.

Com el pentàgon regular, i un pentàgon regular en un pentagrama dins, etc., el pentagrama regular té com grup de simetria el grup diédrico d'orde 10.

Alguns valors trigonométricos significatius

$\mathrm{sen}\frac{\pi }{10}=\mathrm{sen}18^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}=(\varphi -1)/2=1/(2\varphi )$

$\cos \frac{\pi }{10}=\cos 18^{\circ }=\frac{\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{4}$

$\tan \frac{\pi }{10}=\tan 18^{\circ }=\frac{\sqrt{5(5-2\sqrt{5})}}{5}$

$\cot \frac{\pi }{10}=\cot 18^{\circ }=\sqrt{5+2\sqrt{5}}$

$\mathrm{sen}\frac{\pi }{5}=\mathrm{sen}36^{\circ }=\frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{4}$

$\cos \frac{\pi }{5}=\cos 36^{\circ }=\frac{\sqrt{5}+1}{4}=\varphi /2$

$\tan \frac{\pi }{5}=\tan 36^{\circ }=\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

$\cot \frac{\pi }{5}=\cot 36^{\circ }=\frac{\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}}{5}$

Com a resultat, en un triàngul isósceles en un o dos ànguls de 36°, el més llarc dels costats és φ voltes major que el més curt, tant en els triànguls aguts com en els obtusos.

Vore també

• Dia Mundial del Paganisme
• Estrela màgica
• Número
• Secció áurea
• Pitágoras
• Matila Ghyka
• Roger Penrose
• Higía (mitologia)

Bibliografia

• 'Amulets, talismans i pantáculos', Jean Rivière; 'L'atra ciència', Editorial Martínez Roca
• 'Diccionari dels símbols', Jean Chevalier/Alain Gheerbrant; Editorial Herder
• 'Cóm llegir els símbols', Clare Gibson; Editorial H Blume
• 'Símbols', Diccionaris Rioduero
• 'Dones Bilder Lexikon der christlichen Symbole', Eckhard Bieger; Editorial Benno
• Hrant Arakelian. 'The History of the Pentagram', Chapter 6 in 'Mathematics and History of the Golden Section', pp. 207-270, Logos, 2014, ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.)