Fibración de Hopf

És possible visualisar la fibración de Hopf utilisant una proyecció estereográfica de S³ a R³ i després comprimir R³ en una bola. Esta image mostra punts en S² i les seues corresponents fibres en el mateix color.

Erro al crear miniatura:

En este model les argollas simulen part de la fibración de Hopf en mostrar alguns dels círculs de la fibración de Hopf que es troben en un toroide comú.

En la branca de les matemàtiques denominada topología, la fibración de Hopf (també denominada el fes de Hopf o mapa de Hopf) descriu una 3-esfera (una hiperesfera en l'espai de quatre dimensions) per mig de circumferèncias i una esfera ordinària. Descoberta en 1931 per Heinz Hopf, és un eixemple inicial important d'un fes de fibres. Tècnicament, Hopf va descobrir una funció contínua (o "mapa") de varis a un de la 3-esfera en la 2-esfera tal que cada punt en particular de la 2-esfera prové d'una circumferència específica de la 3-esfera Plantilla:Harv. Per lo tant la 3-esfera es compon de fibres, a on cada fibra és una circumferència — un per a cada punt de la 2-esfera.

Esta estructura de fes de fibres queda expressada per mig de l'expressió

$S^1\hookrightarrow S^3\stackrel{p}{\to }{S}^2,$

que significa que l'espai de fibra S¹ (un círcul) es troba encaixat en l'espai total S³ (la 3-esfera), i p: S³→S² (Mapa de Hopf) proyecta S³ en l'espai base S² (la 2-esfera ordinària). La fibración de Hopf, de la mateixa manera que tot fes de fibres, posseïx la propietat que és un producte espacial local. No obstant és un fes de fibres no trivial, o siga S³ no és en sentit global un producte de S² i S¹ encara que a nivell local és indistinguible d'est. Existixen numeroses generalisacions de la fibración de Hopf. L'esfera unitat en Cⁿ⁺¹ es fibra naturalment en CPⁿ en circumferències com a fibres, existixen també versions d'estes fibraciones reals, cuaterniónicas, i octoniónicas. En particular, la fibraciónn de Hopf correspon a una família de quatre fas de fibres en els quals l'espai total, l'espai base, i l'espai fibra són tots esferes:

$S^0\hookrightarrow S^1\to S^1,$

$S^1\hookrightarrow S^3\to S^2,$

$S^3\hookrightarrow S^7\to S^4,$

$S^7\hookrightarrow S^{15}\to S^8.$

Segons establix el teorema d'Adams estes fibraciones solament poden presentar-se en estes dimensions.

La fibración de Hopf és important en l'àmbit de la teoria de twistores.

Construcció

Identifiquem ${ℝ}^4$ en ${ℂ}^2$, llavors, ${𝕊}^3=\{(z_1,z_2):z_1,z_2\in ℂ\text{ y }{z}_1^2+z_2^2=1\}$. Considerem $F:{𝕊}^3⟶{ℂ\mathbb{P}}^1$. ${ℂ\mathbb{P}}^1$ es pot identificar en $\widehat{ℂ}=ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$.

$F$ és una submersión i, per tant, $F$ induïx una foliación en ${𝕊}^3$ els fulls de la qual vénen definides per $F^{-1}([w_1:w_2])$ en $[w_1:w_2]\in {ℂ\mathbb{P}}^1$. És dir, $F^{-1}([w_1:w_2])=\{(z_1,z_2):F(z_1,z_2)=[w_1:w_2]\}=\{(e^{i\theta }{w}_1,e^{i\theta }{w}_2)\}\simeq {𝕊}^1$. Per tant, $F$ determina una foliación els fulls de la qual són isomorfas a ${𝕊}^1$.

Referències

• ; reprinted as article 20 in
• .
• .