Forma diferencial complexa

En matemàtiques, una forma diferencial complexa és una forma diferencial en una varietat (normalment una varietat complexa) a la que se li permet tindre coeficients complexos.

Les formes complexes tenen moltes aplicacions en geometria diferencial. En les varietats complexes, són fonamentals i servixen de base per a gran part de la geometria algebraica, la geometria de Kähler i la teoria de Hodge. En les varietats no complexes, també eixerciten un paper en l'estudi de l'estructura cuasi-complexa, la teoria dels espinorés i l'estructura CR.

Típicament, les formes complexes es consideren per alguna descomposició desijable que les formes admeten. En una varietat complexa, per eixemple, qualsevol forma complexa k pot descompondre's unívocamente en una suma de les cridades (p, q)-formes: aproximadament, falques de p diferencials de les coordenades holomorfas en q diferencials dels seus conjugats complexos. El conjunt de formes (p,q) es convertix en l'objecte primitiu d'estudi, i determina una estructura geomètrica més fina en la varietat que les formes k. Existixen estructures encara més fines, per eixemple, en els casos en que s'aplica la teoria de Hodge.

Formes diferencials en una varietat complexa

Supongam que M és una varietat complexa de dimensió complexa n. Després hi ha un sistema de coordenades local que consistix en n funciones de valor complex z¹,...,zⁿ tals que les transicions de coordenades d'un pegat a un atre són funció holomorfas d'estes variables. L'espai de formes complexes du una estructura rica, depenent fonamentalment del fet de que estes funcions de transició són holomorfas, en lloc de sol suau.

Formes úniques

Comencem en el cas de les formes úniques. Primer descompondre les coordenades complexes en les seues parts reals i imaginàries: z^j=x^j+iy^j per a cada j. Deixar

$\text{d}{z}^j=\text{d}{x}^j+i\text{d}{y}^j,\text{d}{\overline{z}}^j=\text{d}{x}^j-i\text{d}{y}^j,$

un veu que qualsevol forma diferencial en coeficients complexos es pot escriure únicament com una suma

$\sum _{j=1}^n(f_j\text{d}{z}^j+g_j\text{d}{\overline{z}}^j).$

Siga Ω^1,0 l'espai de formes diferencials complexes que contenen sol $dz$ i Ω^0,1 ser l'espai de formes que contenen sol $d\overline{z}$. Es pot demostrar, per mig de les equacions de Cauchy-Riemann, que els espais Ω^1,0 i Ω^0,1 són estables baix canvis de coordenades holomorfas. En atres paraules, si un fa una elecció diferent w_i del sistema de coordenades holomorfas, llavors els elements de Ω^1,0 transformen tensorially, de la mateixa manera que els elements de Ω^0,1. Aixina, els espais Ω^0,1 i Ω^1,0 determinen complexos fibrado vectorials en la varietat complexa.

Formes de grau superior

El producte exterior de les formes diferencials complexes es definix de la mateixa manera que en les formes reals. Siga p i q un parell de sancers no negatius &li; n. L'espai Ω^p,q de (p,q)-formes es definix prenent combinacions llineals dels productes de falca dels elements p de Ω^1,0 i q de Ω^0,1. Simbòlicament

${\Omega }^{p,q}=\underset{p\text{ times}}{\underbrace{{\Omega }^{1,0}\wedge \cdots \wedge {\Omega }^{1,0}}}\wedge \underset{q\text{ times}}{\underbrace{{\Omega }^{0,1}\wedge \cdots \wedge {\Omega }^{0,1}}}$

a on hi ha factors p de Ω^1,0 i factors q de Ω^0,1. De la mateixa manera que en els dos espais d'1-formes, estos són estables baix canvis holomorfos de coordenades, i per lo tant determinen fas vectorials.

Si I^k és l'espai de totes les formes diferencials complexes de grau total k, llavors cada element de I^k pot expressar-se d'una manera única com una combinació llineal d'elements d'entre els espais Ω^{p, q} en p+q=k. Més sucintament, hi ha una descomposició suma directa

$E^k={\Omega }^{k,0}\oplus {\Omega }^{k-1,1}\oplus \cdots \oplus {\Omega }^{1,k-1}\oplus {\Omega }^{0,k}=\underset{p+q=k}{⨁}{\Omega }^{p,q}.$

Degut a que esta descomposició de suma directa és estable baix canvis de coordenades holomorfas, també determina una descomposició de fibrado vectorial.

En particular, per a cada k i cada p i q en p+q=k, hi ha una proyecció canònica de fas vectorials

${\pi }^{p,q}:E^k\to {\Omega }^{p,q}.$

Els operadors de Dolbeault

La derivada exterior habitual definix un mapage de seccions $\text{d}:{\Omega }^r\to {\Omega }^{r+1}$ com:

$\text{d}({\Omega }^{p,q})\subseteq \underset{r+s=p+q+1}{⨁}{\Omega }^{r,s}$

La derivada exterior no reflectix per sí mateixa l'estructura complexa més rígida del colector.

Utilisant $\text{d}$ i les proyeccions definides en la subsección anterior, és possible definir els operadors de Dolbeault:

$\partial ={\pi }^{p+1,q}\circ d:{\Omega }^{p,q}\to {\Omega }^{p+1,q},\overline{\partial }={\pi }^{p,q+1}\circ d:{\Omega }^{p,q}\to {\Omega }^{p,q+1}$

Per a descriure estos operadors en coordenades locals, deixem

$\alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}{f}_{IJ}d{z}^I\wedge d{\overline{z}}^J\in {\Omega }^{p,q}$

a on I i J són multiíndices. Llavors

$\partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }\frac{\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}d{z}^{\ell }\wedge d{z}^I\wedge d{\overline{z}}^J$

$\overline{\partial }\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }\frac{\partial f_{IJ}}{\partial {\overline{z}}^{\ell }}d{\overline{z}}^{\ell }\wedge d{z}^I\wedge d{\overline{z}}^J.$

Es veu que es complixen les següents propietats:

$d=\partial +\overline{\partial }$

${\partial }^2={\overline{\partial }}^2=\partial \overline{\partial }+\overline{\partial }\partial =0.$

Estos operadors i les seues propietats són la base de la cohomología de Dolbeault i de molts aspectes de la teoria de Hodge.

En un domini estrelat d'una varietat complexa els operadors de Dolbeault tenen operadors homotópicos duals que resulten del desdoblament del operador de homotopía para $\text{d}$. Es tracta d'un contingut del lema de Poincare en la varietat complexa.

Referències

Bibliografia

• P. Griffiths (1994). Principles of Algebraic Geometry, Wiley Interscience, pp. 23–25. ISBN 0-471-05059-8.

• Wells, R. O. (1973). Differential analysis on complex manifolds, Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.
• Voisin, Claire (2008). Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I, Cambridge University Press. ISBN 978-0521718011.