Geoide

Es denomina geoide (grec γεια gueia, ‘terra’, i ειδος eidos, ‘forma’, ‘apariència’ —per lo que significaria ‘forma que té la Terra’—) al cos definit per la superfície equipotencial del camp de gravetat terrestre. La forma que prendria la superfície del oceà baixe l'influència de la gravetat de la Terra, inclosa l'atracció gravitacional i la rotació de la Terra, si atres influències com els vents i les marees estigueren absents. Esta superfície s'estén a través dels continents (com en hipotètics canals molt estrets). Segons Gauss, qui la va descriure per primera volta, és la "figura matemàtica de la Terra", una superfície plana pero irregular que la seua forma resulta de la distribució desigual de la massa dins i sobre la superfície de la Terra.^[1] Solament es pot conéixer a través d'extenses medicions i càlculs gravitacionals. A pesar de ser un concepte important durant casi 200 anys en l'història de la geodèsia i la geofísica, s'ha definit en alta precisió solament des dels alvanços en la geodèsia satelital a fins de el XX.

Tots els punts en la superfície d'un geoide tenen el mateix geopotencial (la suma de la energia potencial gravitatoria i l'energia potencial centrífuga). La força de la gravetat actua en tots els llocs de manera perpendicular al geoide, lo que significa que les plomades apunten perpendicularmente i els nivells de l'aigua paralels al geoide si solament estigueren en joc la gravetat i l'acceleració de rotació. L'acceleració de la gravetat de la Terra no és uniforme sobre el geoide, que és solament una superfície equipotencial, condició suficient per a que una bola permaneixca en repòs en lloc de rodar sobre el geoide. La ondulació del geoide o altura del geoide és l'altura del geoide relativa a un elipsoide de referència donat. El geoide servix com superfície de coordenades per a vàries coordenades verticals, com a altures ortométricas, altures geopotenciales i altures dinàmiques.

Per lo anteriorment mencionat, és un model prou encertat de la forma de la Terra, establit en una forma casi esfèrica encara que en un llauger achatamiento en els pols (esferoide), pero que guarda les diferències pròpies de la gravetat en vinculació a masses diferencials dels perfils de composició vertical del planeta.^[2]

Història del concepte

El nom «geoide» s'origina en el següent fet: el planeta Terra, com atres astres, no és una esfera perfecta (encara que la diferència en una esfera perfecta siga de tan sol un 0,1%), sino que per efectes de la gravitació i de la força centrífuga produïda al rotar sobre el seu eix es genera el aplanamiento polar i l'eixamplada equatorial. Tinguen-se en conte que si es considera la corfa, la Terra no és exactament un geoide, encara que sí ho és si es representa al planeta en el nivell mig de les marees. Esta noció de la Terra com a geoide va ser predita per Isaac Newton en els seus Principia durant l'any 1687. Per a això Newton es va valdre d'un senzill experiment: fer girar veloçment un cos viscós en un decorregut líquit. D'esta manera va expressar que «la forma d'equilibri que té una massa baixe l'influix de les lleis de gravitació i girant entorn al seu eix és la d'un esferoide esclafat en els seus pols».

Esta hipòtesis newtoniana va ser estudiada per Domenico i Jacques Cassini, i confirmada pels treballs geodèsics de l'expedició portada a terme en les regions equatorials per La Condamine, Godin i Bouguer durant el XVIII, per ad açò varen realisar la medició exacta de la diferència d'un grau en les proximitats de la llínea de l'equador i varen cotejar les diferències en les latitutés europees. Els treballs matemàtics i geomètrics efectuats en el XIX per Gauss i Helmert varen ratificar els anteriors descobriments.

Geografia i geoide

En geografia i disciplines afins o derivades (geodèsia, cartografia, topografia, etc.) actualment un geoide és la superfície física definida per mig del potencial gravitatorio, de modo que sobre ell hi ha en tots els punts la mateixa atracció terrestre. S'exclouen els fenomens orogénicos, per lo que les montanyes no s'inclouen en el mateix. Gràficament es pot definir com la superfície de les mars en calma prolongada baix els continents. Geomètricament és casi un esferoide de revolució (esfera achatada pels pols) en irregularitats menors de 100 metros.

Descripció

La superfície del geoide és irregular, a diferència del elipsoide de referència (que és una representació matemàtica idealizada de la Terra física com un elipsoide), pero és considerablement més suau que la superfície física de la Terra. Encara que el "sol" de la Terra té excursions de l'orde de +8.800 m (Mont Everest) i −11.000 m (Fossa de les Marianes), la desviació del geoide d'un elipsoide varia de +85 m (Islàndia) a −106 m (sur d'Índia), menys de 200 m en total.

Si l'oceà fora isopícnico (de densitat constant) i no estiguera pertorbat per les marees, les corrents o el clima, la seua superfície se semblaria al geoide. La desviació permanent entre el geoide i el nivell mig de la mar es denomina topografia de la superfície de l'oceà. Si les masses de terra continental estigueren travessades per una série de túnels o canals, el nivell de la mar en eixos canals també coincidiria casi en el geoide. En realitat, el geoide no té un significat físic baix dels continents, pero els geodestas poden derivar les altures dels punts continentals sobre esta superfície imaginària, encara que definida físicament, per mig de nivellació de bombeta.

En ser una superfície equipotencial, el geoide és, per definició, una superfície a la que la força de la gravetat és perpendicular en tots els llocs. Això significa que quan es viaja en barco, un no nota les ondulacions del geoide ; la vertical local (plomada) sempre és perpendicular al geoide i l'horisó local és tangencial a est. Aixina mateix, els nivells de bombeta sempre estaran paralels al geoide.^[3]

Eixemple simplificat

El camp gravitatorio de la terra no és uniforme. Un esferoide oblato s'usa típicament com la terra idealizada, pero inclús si la terra fòra esfèrica i no rotara, la força de la gravetat no seria la mateixa en tots els llocs perque la densitat varia en tot el planeta. Açò es deu a les distribucions de magma, la densitat i el pes de les diferents composicions geològiques en la corfa terrestre, les cadenes montanyoses, les fosses marines profundes, la compactación de la corfa pels glaciars, etc.

Si eixa esfera estiguera coberta d'aigua, l'aigua no tindria la mateixa altura en tots els llocs. En canvi, el nivell de l'aigua seria més alt o més baix sobre el centre de la Terra, depenent de l'integral de la força de la gravetat des del centre de la terra fins a eixe lloc. El nivell del geoide coincidix en el lloc a on estaria l'aigua. Generalment, el geoide cau a on el material de la terra és localment més dens, que és a on la terra eixercix una major atracció gravitatoria.

Forma

Artícul principal → Anomalia geoidal.

La ondulació del geoide, l'altura del geoide o la anomalia geoidal és l'altura del geoide en relació en un elipsoide de referència donat. L'ondulació no està estandardisada, ya que diferents països usen diferents nivells mijos de la mar com a referència, pero més comunament es referix al geoide EGM96.

Relació en GPS/GNSS

En els mapes i d'us comú, l'altura sobre el nivell mig de la mar (com la altura ortométrica) s'utilisa per a indicar l'altura de les #elevació, mentres que la altura elipsoidal resulta del sistema GPS i GNSS similar.

la desviaciónentre $N$ l'altura elipsoidal $h$ i l'altura ortométrica $H$ es pot calcular per $N = h - H$ (Existix una relació anàloga entre les altures normals i el cuasigeoide).

Per lo tant, un receptor GPS en un barco pot, durant el transcurs d'un viage llarc, indicar variacions d'altura, encara que el barco sempre estarà al nivell de la mar (despreciant els efectes de les marees). Açò es deu a que els satèlits GPS, que orbitan al voltant del centre de gravetat de la Terra, poden medir altures solament en relació en un elipsoide de referència geocéntrico. Per a obtindre l'altura ortométrica d'un, es deu corregir una llectura de GPS sense processar. Pel contrari, l'altura determinada per la nivellació d'un mareógrafo, com en la agrimensura tradicional, està més prop de l'altura ortométrica. Els receptors GPS moderns tenen una cuadrícula implementada en el seu software per mig de la qual obtenen, a partir de la posició actual, l'altura del geoide (per eixemple, el geoide EGM-96) sobre el Sistema Geodèsic Mundial (WGS) elipsoide. Després poden corregir l'altura sobre l'elipsoide WGS a l'altura sobre el geoide EGM96. Quan l'altura no és zero en un barco, la discrepància es deu a atres factors, com les marees oceàniques, la pressió atmosfèrica (efectes meteorològics), la topografia local de la superfície de la mar i les incertituts de medició.

Relació en la densitat de massa

La superfície del geoide és més alta que el elipsoide de referència a on hi ha una anomalia de gravetat positiva (excés de massa) i més baixa que l'elipsoide de referència a on hi ha una anomalia de gravetat negativa (dèficit de massa).^[4]

Esta relació pot entendre's recordant que el potencial de gravetat es definix de modo que tinga valors negatius i siga inversamente proporcional a la distància del cos. Llavors, mentres que un excés de massa enfortirà l'acceleració de la gravetat, disminuirà el potencial de la gravetat. Com a conseqüència, la superfície equipotencial que definix el geoide es trobarà desplaçada llunt de l'excés de massa. Análogamente, un dèficit de massa debilitarà l'atracció de la gravetat pero aumentarà el geopotencial a una distància determinada, lo que farà que el geoide es moga cap al dèficit de massa. La presència d'una inclusió localisada en el mig de fondo farà que els vectores d'acceleració de la gravetat giren llaugerament cap a i des d'un cos més dens o més llauger, respectivament, provocant un hoyuelo o una protuberància en la superfície equipotencial.^[5]

La major desviació absoluta es pot trobar en el "baix geoide del Oceà Índic".^[6]

Anomalies de gravetat

Artícul principal → Anomalia gravitatoria.

Les variacions en l'altura de la superfície geoidal estan relacionades en distribucions de densitat anómales dins de la Terra. Les mides del geoide ajuden aixina a comprendre l'estructura interna del planeta. Càlculs sintètics mostren que la firma geoidal d'una corfa engrossada (per eixemple, en cinturons orogénicos produïts per colisió continental) és positiva, al contrari de lo que caldria esperar si el engrosamiento afecta a tota la litosfera. La convecció del mant també canvia la forma del geoide en el temps.^[7]

Determinació

Calcular l'ondulació és matemàticament desafiant.^[8]^[9] Esta és la raó per la que molts receptors GPS portàtils tenen taules de busca^[10] d'ondulació integrades per a determinar l'altura sobre el nivell de l'mar.

La solució de geoide precisa de Petr Vaníček i colaboradors va millorar l'enfocament de George Gabriel Stokes per al càlcul del geoide.^[11] La seua solució permet una precisió de milímetro a centímetro en el càlcul del geoide, una millora en el orde de magnitut de les solucions clàssiques anteriors.^[12]^[13]^[14]^[15]

Les ondulacions del geoide mostren incertituts que es poden estimar utilisant varis métodos, per eixemple, colocació de mínims quadrats (LSC), llògica difusa, rets neutrals artificials, funcions de base radial (RBF) i tècniques geoestadísticas. L'enfocament geoestadístico s'ha definit com la tècnica més millorada en la predicció de l'ondulació del geoide.^[16]

Canvi temporal

Missions satelitales recents, com Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer (GOGE) i Gravity Recovery and Climate Experiment (GRACE), han permés l'estudi de senyals de geoide variables en el temps. Els primers productes basats en senyes satelitales GOGE varen estar disponibles en llínea en juny de 2010, a través de les ferramentes de servicis d'observació de la Terra per a usuaris de l'Agència Espacial Europea (EIXA). L'EIXA va llançar el satèlit en març de 2009 en una missió per a mapear la gravetat de la Terra en una precisió i resolució espacial sense precedents. El 31 de març de 2011, es va presentar el nou model de geoide en el Quart Taller Internacional d'Usuaris de GOGE organisat en la Universitat Tècnica de Munich, Alemània. Els estudis que utilisen el geoide variable en el temps calculat a partir de les senyes de GRACE han proporcionat informació sobre els cicles hidrològics globals, els balanços de massa de les capes de gèl, i el rebot posglaciar. A partir de les medicions de rebot posglacial, les senyes GRACE variables en el temps es poden utilisar per a deduir la viscosidad del mant terrestre.

Representació d'harmònics esfèrics

Els harmònics esfèrics s'utilisen a sovint per a aproximar la forma del geoide. El millor conjunt actual de coeficients harmònics esfèrics és EGM2020 (Earth Gravity Model 2020), determinat en un proyecte de colaboració internacional dirigit per l'Agència Nacional d'Imàgens i Cartografia (ara la Agència Nacional d'Inteligència Geoespacial, o NGA). La descripció matemàtica de la part no giratòria de la funció potencial en este model és:^[17]

$V = \frac{G M}{r} (1 + \sum_{n = 2}^{n_{max}} {(\frac{a}{r})}^{n} \sum_{m = 0}^{n} {\overline{P}}_{n m} (\sin ϕ) [{\overline{C}}_{n m} \cos m λ + {\overline{S}}_{n m} \sin m λ]),$

on $ϕ$ i $λ$ són la latitut i la llongitut geocéntricas (esfèriques) respectivament, ${\overline{P}}_{n m}$ són els polinomis de Legendre associats totalment normalisats de grau $n$ i l'orde $m$ , i ${\overline{S}}_{n m}$ i ${\overline{C}}_{n m}$ són els coeficients numèrics del model basats en les senyes medides.Tinga en conte que l'equació anterior descriu el potencial gravitatorio de la Terra $V$ , no el geoide en sí, en l'ubicació $ϕ, λ, r,$ la coordenada $r$ sent el radi geocéntrico, és dir, la distància des del centre de la Terra. El geoide és una superfície equipotencial particular,^[18] i és alguna cosa complicat de calcular. El gradient d'este potencial també proporciona un model de l'acceleració gravitatoria. El EGM96 més utilisat conté un conjunt complet de coeficients de grau i orde 360 (és dir, $n_{max} = 360$ ), que descriu detalls en el geoide global tan menuts com 55 km (o 110 km, segons la seua definició de resolució). El número de coeficients, ${\overline{C}}_{n m}$ i ${\overline{S}}_{n m}$ , es pot determinar observant primer en l'equació per a V que per a un valor específic de n hi ha dos coeficients per a cada valor de m llevat para m = 0. Solament hi ha un coeficient quan m=0 ya que $\sin (0 λ) = 0$ . Per tant, hi ha (2n+1) coeficients per a cada valor de n. Usant estos fets i la fòrmula, $\sum_{I = 1}^{L} I = \frac{1}{2} L (L + 1)$ , es deduïx que el número total de coeficients està donat per $\sum_{n = 2}^{n_{max}} (2 n + 1) = n_{max} (n_{max} + 1) + n_{max} - 3 = 130317$ usant el valor EGM96 de Para moltes aplicacions, la série completa és innecessàriament complexa i es trunca despuix d'alguns térmens (potser vàries dotzenes).

Aixina i tot, inclús s'han desenrollat models d'alta resolució. Molts dels autors de EGM96 han publicat EGM2008. Incorpora gran part de les noves senyes de gravetat satelital (p. eix., el Gravity Recovery and Climate Experiment) i admet fins al grau i orde 2160 (1/6 de grau, que requerix més de 4 millons de coeficients),^[19]en coeficients adicionals que s'estenen al grau 2190 i orde 2159.^[20] EGM2020 és el seguiment planificat de 2020 (ara vençut), que conté la mateixa cantitat d'harmònics generats en millors senyes.^[21]

Gravimetria i geoide

Tècnicament i utilisant ferramentes gravimétricas es denomina geoide a la superfície física definida per un determinat potencial gravitatorio (constant en tota la superfície). Per a definir el geoide, s'adopta arbitrariamente el valor de potencial el geoide associat del qual s'aproxima més a la superfície dels oceans (la superfície mija de la mar, prescindint de l'onage, les marees, les corrents i la rotació terrestre, coincidix casi exactament en una superfície equipotencial). La forma del geoide no coincidix necessàriament en la topografia terrestre, modelada per forces endógenas (tectónica de plaques) i exógenas (agents geomorfològics). Geomètricament, el geoide és semblat a un esferoide (esfera achatada pels pols).

La forma del geoide pot determinar-se per mig de:

Mides de les anomalies gravitatorias medint la magnitut de la intensitat de la gravetat en numerosos punts de la superfície terrestre. Ya que és similar a un esferoide (esfera achatada pels pols) l'acceleració de la gravetat va aumentant des del equador fins als pols. Estes medicions de la gravetat terrestre tenen que ser corregides per a eliminar les anomalies locals per variacions de la densitat.
Medicions astronòmiques: Es funden en medir la vertical del lloc i vore les seues variacions. Esta variació es relaciona en la seua forma.
Medició de les deformacions produïdes en la òrbita dels satèlits causades perque la Terra no és homogénea. Aixina s'ha determinat un geoide en decenes de abultamientos o #depressió respecte a l'esferoide teòric. Estes irregularitats són menors de 100 metros.

Esferoide

És important recordar que les superfícies de revolució són aquelles que es generen fent girar una curva al voltant d'un eix. Alguns geofísicos consideren a l'esferoide com a model geomètric de la terra i no solament a est sino també a l'esfera, per això l'esferoide té meridiana principal i equador. Elipse: curva tancada en forma oval.

Achatamiento

És la magnitut adimensional:

f = \frac{a - b}{a} = \frac{1}{298, 2}

Sent el aplanamiento l'inversa del achatamiento.

Aixina, el diàmetro equatorial és 43 km major que el diàmetro polar. És per això que els punts més alluntats del centre de la Terra i, per això, els punts que tenen menor gravetat) són el volcà Chimborazo 6.384,4 m s. n. m. Equador-Sudamérica i atres punts elevats del continent americà en la zona equatorial (i en menor grau, el Kilimanjaro i atres montanyes en Àfrica).

Latitut i latitut geocéntrica

En ser la Terra aproximadament un esferoide, la latitut o àngul que forma un lloc en el equador terrestre i la latitut geocéntrica o àngul que forma el lloc vist des del centre de la Terra sobre l'equador, no coincidixen.

Per a relacionar-los s'introduïx la variable auxiliar o:

\tan (u) = \frac{b}{a} \times \tan (Φ)

Si H és l'altura sobre el nivell de la mar en metros de l'observador i $ρ$ la distància al centre de la Terra, es complix:

ρ \times sen (Φ^{'}) = \frac{b}{a s (u) + \frac{H}{6378140} \times \cos (Φ)}

Geoide i geodèsia

El geoide és una superfície de referència utilisada en la geodèsia per a determinar perfils altimétricos, açò és freqüentment per la determinació de la cota sobre el nivell mig de la mar de tots els punts de la zona que és mensurada.

Ya que el geoide és una superfície normal en tot punt en direcció vertical, açò és en la direcció freqüent de la força de gravetat, esta és la forma que millor descriu la superfície mija dels oceans descontant les variacions de marea, corrents marines o events meteorològics, i per açò del planeta; aixina és que el geoide és considerat com una superfície equipotencial (a on la força de gravetat té valors equiparables) sobre el nivell mig de la mar.

No obstant des del punt de vista cartogràfic el geoide no pot ser utilisat per a determinacions planimètriques precises d'una porció de terreny perque encara si es conseguia relacionar la correspondència dels punts de la superfície de la Terra no es podria posar en correspondència els punts del geoide en un sistema cartesiano pla. És per açò que en la pràctica no és factible usar el geoide per a la creació d'una planta arquitectònica perque les senyes derivades de la proyecció sobre el geoide de la superfície terrestre no poden ser descrits sobre un pla. Per tant el geoide s'utilisa principalment per a referenciar les cotes de nivell.

Tot lo anterior ocorre perque és pràcticament impossible descriure al geoide en una fòrmula matemàtica resoluble en un pla: per a conéixer i representar el relleu del geoide seria necessari conéixer en tot punt de la superfície terrestre la direcció de la força de gravetat, la qual per la seua banda depén de la densitat que la Terra posseïx en cada punt. Tal coneiximent és encara impossible sense una certa aproximació que deixa important marge d'error, resultant aixina poc operativa des del punt de vista matemàtic la definició del geoide.

És llavors necessari posar atenció en les diferències existents entre el geoide pròpiament dit i el esferoide (una atra superfície de referència usada en cartes topogràfiques): mentres el primer té ya una rigorosa definició física no obstant no es descriu be en matemàtiques. En canvi el segon (l'esferoide) posseïx una ben definida equació matemàtica. Pels demés existix una certa desviació de la vertical entre abdós superfícies.

Vore també

Referències

↑ Gauß, C.F. (1828). Bestimmung dones Breitenunterschiedes zwischen donen Sternwarten von Göttingen und Altona durch Beobachtungen am Ramsdenschen Zenithsector (en de), Vandenhoeck und Ruprecht, p. 73.
↑ «La mentira dels mapes o cóm nos enganya la forma geoide de la Terra» (en és). elconfidencial.com. Consultat el 2021-09-13.
↑ «Earth's Gravity Definition». GRACE – Gravity Recovery and Climate Experiment. Center for Space Research (University of Texas at Austin) / Texas Space Grant Consortium.
↑ Fowler, C.M.R.. The Solid Earth; An Introduction to Global Geophysics, United Kingdom: Cambridge University Press, p. 214. ISBN 9780521584098.
↑ Lowrie, W. (1997). Fundamentals of Geophysics, Cambridge University Press, p. 50. ISBN 978-0-521-46728-5.
↑ Raman, Spoorthy. «The missing mass -- what is causing a geoid low in the Indian Ocean?».
↑ “Geoid anomalies in a dynamic mantle” (1984). Journal of Geophysical Research 89 (B7): 5987–6002. doi:10.1029/JB089iB07p05987.
↑ (2011) «Geoid Determination, Theory and Principles», Encyclopedia of Solid Earth Geophysics, pp. 356–362. doi:10.1007/978-90-481-8702-7_154. ISBN 978-90-481-8701-0.
↑ (2011) «Geoid, Computational Method», Encyclopedia of Solid Earth Geophysics, pp. 366–371. doi:10.1007/978-90-481-8702-7_225. ISBN 978-90-481-8701-0.
↑ «GPS Orthometric Height».
↑ «UNB Precise Geoid Determination Package».
↑ Vaníček, P.. “The Canadian geoid-Stokesian approach”. Manuscripta Geodaetica 12 (2): 86–98.
↑ Vaníček, P.. “Compilation of a precise regional geoid”. Manuscripta Geodaetica 19: 119–128.
↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
↑ Relativistic celestial mechanics of the solar system, Weinheim: Wiley-VCH, p. 704. ISBN 9783527408566.
↑ “Spatial uncertainty of a geoid undulation model in Guayaquil, Equador” . Open Geosciences 9 (1): 255–265. doi:10.1515/geo-2017-0021. ISSN 2391-5447. Bibcode: 2017OGeo....9...21C.
↑ Smith, Dru A. (1998). «There is no such thing as 'The' EGM96 geoid: Subtle points on the use of a global geopotential model», IGeS Bulletin No. 8, Milan, Italy: International Geoid Service, pp. 17–28.
↑ Smith, Dru A. (1998). «There is no such thing as 'The' EGM96 geoid: Subtle points on the use of a global geopotential model», IGeS Bulletin No. 8, Milan, Italy: International Geoid Service, pp. 17–28.
↑ Pavlis, N. K.; Holmes, S. A.; Kenyon, S.; Schmit, D.; Trimmer, R. "Gravitational potential expansion to degree 2160". IAG International Symposium, gravity, geoid and Space Mission GGSM2004. Porte, Portugal, 2004.
↑ «Earth Gravitational Model 2008 (EGM2008)». National Geospatial-Intelligence Agency.
↑ “Earth Gravitational Model 2020” (2015). AGU Fall Meeting Abstracts 2015: G34A–03. Bibcode: 2015AGUFM.G34A..03B.

Enllaços externs

Este artícul conté una traducció derivada de «Geoid» de Wikipedia en inglés, concretament de esta versió, publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Geoide» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Gauß1828-1] Gauß, C.F. (1828). Bestimmung dones Breitenunterschiedes zwischen donen Sternwarten von Göttingen und Altona durch Beobachtungen am Ramsdenschen Zenithsector (en de), Vandenhoeck und Ruprecht, p. 73.

[2] «La mentira dels mapes o cóm nos enganya la forma geoide de la Terra» (en és). elconfidencial.com. Consultat el 2021-09-13.

[TexasGeoid-3] «Earth's Gravity Definition». GRACE – Gravity Recovery and Climate Experiment. Center for Space Research (University of Texas at Austin) / Texas Space Grant Consortium.

[4] Fowler, C.M.R.. The Solid Earth; An Introduction to Global Geophysics, United Kingdom: Cambridge University Press, p. 214. ISBN 9780521584098.

[Lowrie_1997_p._50-5] Lowrie, W. (1997). Fundamentals of Geophysics, Cambridge University Press, p. 50. ISBN 978-0-521-46728-5.

[Raman_2017-6] Raman, Spoorthy. «The missing mass -- what is causing a geoid low in the Indian Ocean?».

[7] “Geoid anomalies in a dynamic mantle” (1984). Journal of Geophysical Research 89 (B7): 5987–6002. doi:10.1029/JB089iB07p05987.

[8] (2011) «Geoid Determination, Theory and Principles», Encyclopedia of Solid Earth Geophysics, pp. 356–362. doi:10.1007/978-90-481-8702-7_154. ISBN 978-90-481-8701-0.

[9] (2011) «Geoid, Computational Method», Encyclopedia of Solid Earth Geophysics, pp. 366–371. doi:10.1007/978-90-481-8702-7_225. ISBN 978-90-481-8701-0.

[10] «GPS Orthometric Height».

[11] «UNB Precise Geoid Determination Package».

[12] Vaníček, P.. “The Canadian geoid-Stokesian approach”. Manuscripta Geodaetica 12 (2): 86–98.

[13] Vaníček, P.. “Compilation of a precise regional geoid”. Manuscripta Geodaetica 19: 119–128.

[14] Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».

[15] Relativistic celestial mechanics of the solar system, Weinheim: Wiley-VCH, p. 704. ISBN 9783527408566.

[16] “Spatial uncertainty of a geoid undulation model in Guayaquil, Equador” . Open Geosciences 9 (1): 255–265. doi:10.1515/geo-2017-0021. ISSN 2391-5447. Bibcode: 2017OGeo....9...21C.

[noaa.gov-17] Smith, Dru A. (1998). «There is no such thing as 'The' EGM96 geoid: Subtle points on the use of a global geopotential model», IGeS Bulletin No. 8, Milan, Italy: International Geoid Service, pp. 17–28.

[noaa.gov2-18] Smith, Dru A. (1998). «There is no such thing as 'The' EGM96 geoid: Subtle points on the use of a global geopotential model», IGeS Bulletin No. 8, Milan, Italy: International Geoid Service, pp. 17–28.

[19] Pavlis, N. K.; Holmes, S. A.; Kenyon, S.; Schmit, D.; Trimmer, R. "Gravitational potential expansion to degree 2160". IAG International Symposium, gravity, geoid and Space Mission GGSM2004. Porte, Portugal, 2004.

[nga.mil-20] «Earth Gravitational Model 2008 (EGM2008)». National Geospatial-Intelligence Agency.

[21] “Earth Gravitational Model 2020” (2015). AGU Fall Meeting Abstracts 2015: G34A–03. Bibcode: 2015AGUFM.G34A..03B.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]