Grup de reflexions

Archiu:Tiling Regular 3-6 Triangular.svg

Eixemple d'un grup de reflexió: teselado del pla en triànguls equiláteros (3,3,3)

En teoria de grups i en geometria, un grup de reflexions (o també grup de reflexió) és un grup discret que es genera per mig d'un conjunt de reflexions en un espai euclídeo de dimensió finita. El grup de simetria d'un politopo regular o d'un Teselado de l'espai euclídeo per mig de còpies congruents d'un politopo regular és necessàriament un grup de reflexions. Els grups de reflexions també inclouen els grups de Weyl i els grups de Coxeter cristalográficos. Si ben el grup ortogonal es genera per mig de reflexions (segons el teorema de Cartan-Dieudonné), és un grup continu (de fet, un grup de Lie), pero no un grup discret, i generalment es considera per separat.

Definició

Siga I un espai euclídeo de dimensió finita. Un grup de reflexió finito és un subgrup del grup llineal general de I que es genera per un conjunt de reflexions ortogonals a través de hiperplanos que passen per l'orige. Un grup de reflexió afí és un subgrup discret del grup afí de I, que es genera per mig d'un conjunt de reflexions afins de I (sense el requisit de que els hiperplanos de reflexió passen per l'orige).

Les nocions corresponents es poden definir sobre uns atres cossos, lo que du al grup de reflexions complex i elements anàlecs de grups de reflexió sobre un cos finito.

Eixemples

En el pla

En dos dimensions, els grups de reflexió finitos són els grups diédricos, que es generen per reflexió respecte a dos rectes que formen un àngul de $2\pi /n$ i corresponen al diagrama de Coxeter-Dynkin $I_2(n).$. Pel contrari, els grups de punts en dos dimensions cíclicos no es generen per reflexions, ni contenen cap, són subgrups d'índex 2 d'un grup diédrico.

Els grups de reflexió infinits inclouen els frisos $*\mathrm{\infty }\mathrm{\infty }$ i $*22\mathrm{\infty }$ i els elements del grup del paper pintat $**$, $*2222$, $*333$, $*442$ i $*632$. Si l'àngul entre dos rectes és un múltiple irracional de pi, el grup generat per les reflexions en estes rectes és infinit i no discret, i per lo tant, no és un grup de reflexions.

En l'espai

Els grups de reflexió finitos són els grups de punts C_nv, D_nh i els grups de simetria dels cinc sòlits platònics. Els poliedres regulars duals (gaveta i octaedre, aixina com dodecaedre i icosaedre) donen lloc a grups de simetria isomòrfics. La classificació de grups de reflexió finitos de 'R³ és una instància de la classificació ADE.

Vore també

• Disposició de hiperplanos
• Teorema de Chevalley-Shephard-Todd
• Caleidoscopio, instrument òptic en el que estan relacionats els grups de reflexió.