Intersecció recta-esfera

Archiu:Intersección recta esfera.png

Els tres possibles casos d'intersecció entre una recta i una esfera.

En geometria analítica, l'intersecció entre una recta i una esfera pot resultar en un de tres casos:

1. No hi ha intersecció
2. Hi ha intersecció en un punt
3. Hi ha intersecció en dos punts

En el segon cas, la recta és tangente a l'esfera.

Existixen vàries circumstàncies en les que és necessari distinguir entre estos tres casos i, en els últims dos, calcular les coordenades dels punts d'intersecció. Per eixemple, és comú realisar este càlcul en el traçat de rajos .

Càlcul en forma vectorial

Si ben este artícul tracta sobre l'intersecció entre una recta i una esfera en tres dimensions, les equacions que es mostren a continuació són vàlides en qualsevol número de dimensions perque estan escrites en forma vectorial.

L'equació d'una esfera és:

${\Vert 𝐱-𝐜\Vert }^2=r^2$

• $𝐱$ : punts en la superfície de l'esfera
• $𝐜$ : centre de l'esfera
• $r$ : ràdio de l'esfera

L'equació d'una llínea recta és:

$𝐱=𝐨+d𝐮$

• $𝐱$ : punts de la recta
• $𝐨$ : un punt de pas de la recta
• $d$ : distància entre $𝐨$ i $𝐱$
• $𝐮$ : un vector director de la recta

Per a trobar els punts que estan tant en la recta com en l'esfera cal combinar les dos equacions i rebujar $d$.

Reemplaçant l'equació de la recta dins de l'equació de l'esfera, i després canviant el quadrat de la norma per un producte escalar, obtenim:

${\Vert 𝐨+d𝐮-𝐜\Vert }^2=r^2\iff (𝐨+d𝐮-𝐜)\cdot (𝐨+d𝐮-𝐜)=r^2$

Distribuint i reordenando els térmens:

$d^2(𝐮\cdot 𝐮)+2d[𝐮\cdot (𝐨-𝐜)]+(𝐨-𝐜)\cdot (𝐨-𝐜)-r^2=0$

S'obté una equació quadràtica a on l'incògnita és $d$:

$a{d}^2+bd+c=0$

Els coeficients són:

• $a=𝐮\cdot 𝐮={\Vert 𝐮\Vert }^2$
• $b=2[𝐮\cdot (𝐨-𝐜)]$
• $c=(𝐨-𝐜)\cdot (𝐨-𝐜)-r^2={\Vert 𝐨-𝐜\Vert }^2-r^2$

La solució d'esta equació és:

$d=\frac{-2[𝐮\cdot (𝐨-𝐜)]\pm \sqrt{(2[𝐮\cdot (𝐨-𝐜)]{)}^2-4{\Vert 𝐮\Vert }^2({\Vert 𝐨-𝐜\Vert }^2-r^2)}}{2{\Vert 𝐮\Vert }^2}=\frac{-[𝐮\cdot (𝐨-𝐜)]\pm \sqrt{(𝐮\cdot (𝐨-𝐜){)}^2-{\Vert 𝐮\Vert }^2({\Vert 𝐨-𝐜\Vert }^2-r^2)}}{{\Vert 𝐮\Vert }^2}$

En el cas específic de que $𝐮$ siga un vector unitari, és dir ${\Vert 𝐮\Vert }^2=1$, açò es pot simplificar encara més a (escrivint $\widehat{𝐮}$ en lloc de $𝐮$ per a indicar que és un vector unitari):

$d=-[\widehat{𝐮}\cdot (𝐨-𝐜)]\pm \sqrt{(\widehat{𝐮}\cdot (𝐨-𝐜){)}^2-{\Vert 𝐨-𝐜\Vert }^2+r^2}$

I cridant $\mathrm{\nabla }$ al discriminante:

$\mathrm{\nabla }=[\widehat{𝐮}\cdot (𝐨-𝐜){]}^2-{\Vert 𝐨-𝐜\Vert }^2+r^2$

$d=-[\widehat{𝐮}\cdot (𝐨-𝐜)]\pm \sqrt{\mathrm{\nabla }}$

El valor del discriminante permet determinar com dels tres casos es complix:

• Si $\mathrm{\nabla }<0$, llavors està clar en l'equació anterior que no existixen solucions per a $d$, és dir que la recta no talla a l'esfera (cas 1).
• Si $\mathrm{\nabla }=0$, llavors existix exactament una solució, és dir que la llínea solament toca l'esfera en un punt (cas 2).
• Si $\mathrm{\nabla }>0$, existixen dos solucions, i per lo tant la llínea curta a l'esfera en dos punts (cas 3).

Finalment, en els casos 2 i 3, els punts d'intersecció es poden calcular reemplaçant els valors obtinguts de $d$ en l'equació de la recta.

Vore també

• Intersecció_(geometria)
• Geometria analítica