Invarianza del domini

Una funció l'image de la qual no és un homeomorfisme: g : (−1.1, 1) → R² en g(t) = (t² − 1, t³ − t)

La invarianza del domini és una teorema topològic sobre subconjunts homeomorfos d'un espai euclídeo Rⁿ. Afirma que:

Si O és un subconjunt obert de Rn i f: O→Rn és una funció inyectiva i contínua, llavors V = f(O) està obert i f és un homeomorfisme entre O i V.

La teorema i la seua demostració, publicats en 1912, es deuen a Luitzen Egbertus Jan Brouwer. La demostració utilisa ferramentes de topología algebraica, en especial el teorema del punt fix de Brouwer.

Conseqüències

Una conseqüència important de la teorema d'invariancia de domini és que R ⁿ no pot ser homeomorfo en R^m si m ≠ n. De fet, cap subconjunt obert no buit de R ⁿ pot ser homeomorfo a qualsevol subconjunt obert de R^m en este cas.

Generalisacions

La teorema d'invariancia del domini pot generalisar-se a varietats: si M i N són topológicamente n-varietats sense llímit i f: M → N és una funció contínua que localment un a un (lo que significa que cada punt en M té un entorn tal que f restringit a este entorn és inyectiva), llavors f és una funció oberta (lo que significa que f(O) està obert en N sempre que O siga un subconjunt obert de M) i un homeomorfisme local.

També existixen generalisacions per a certs tipos de mapes continus d'un espai de Banach sobre sí mateixa.

Notes

La conclusió de la teorema es pot formular de manera equivalent com: "f és una funció oberta".

Normalment, per a comprovar que f és un homeomorfisme, es deuria verificar que tant f com la seua funció recíproca f ⁻¹ són contínues; la teorema diu que si el domini és un subconjunt obert de Rⁿ i l'image també està en Rⁿ, llavors la continuïtat de f ⁻¹ és automàtica. Ademés, la teorema diu que si dos subconjunts O i V de R ⁿ són homeomórficos, i O està obert, llavors V deu estar obert també (deu tindre's en conte que V és obert com un subconjunt de Rⁿ, i no solament en la topología del subespacio; l'obertura de V en la topología del subespacio és automàtica). Abdós afirmacions no són en absolut òbvies i, en general, no són certes fòra d'un espai euclidiano.

És de crucial importància que tant el domini com el ranc de f estiguen continguts en un espai euclidiano de la mateixa dimensió. Considere's per eixemple la funció f: (0,1) → R² en f(t) = (t, 0). Este mapa és inyectivo i continu, el domini és un subconjunt obert de R, pero l'image no està oberta en R². Un eixemple més extrem és g: (-1.1,1) → R² en g (t) = (t ² - 1, t ³ - t) perque ací g és inyectiva i contínua, pero ni tan sols produïx un homeomorfisme en la seua image.

La teorema tampoc és generalment verdader en dimensions infinites. Considere's per eixemple l'espai de Banach l^∞ de totes les successions matemàtiques reals en llímit. Definixca's f: l^∞ →l ^∞ com el desplaçament f(x₁, x₂, ...) = (0 , x₁, x₂, ...). Llavors f és inyectiva i contínua, el domini està obert en l^∞, pero l'image no.

Vore també

• Teorema de les funcions obertes per a atres condicions que asseguren que una funció contínua donada siga oberta.