Lema de Wiener

En matemàtiques, el lema de Wiener és una identitat molt coneguda que relaciona el comportament asintòtic dels coeficients de Fourier d'una mida de Borel en el círcul en la seua part discreta. Este resultat admet una afirmació anàloga per a les mides en la recta real. Va ser descobert per primera volta per Norbert Wiener.

Definició

Considerem l'espai $M(𝕋)$ de totes les mides de Borel complexes (finitas) en el círcul unitari $𝕋$ i l'espai $C(𝕋)$ de funcions contínues en $𝕋$ com la seua espai dual. Llavors $C(𝕋)\subset L^p(𝕋)$ para tot $1\le p<\mathrm{\infty }$ i $L^1(𝕋)\subset M(𝕋)$.

Dau $\mu \in M(𝕋)$, siga $${\mu }_{pp}=\sum _j{c}_j{\delta }_{z_j},$$ siga la seua part discreta (lo que significa que $\mu (\{z_j\})=c_j\ne 0$ i $\mu (\{z\})=0$ per a $z\in ̸\{z_j\}$. Llavors $$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^N|\hat{\mu }(n){|}^2=\sum _j|c_j{|}^2,$$ a on $\hat{\mu }(n)=\underset{𝕋}{\int }{z}^{-n}d\mu (z)$ és el $n$ -ésimo coeficient de Fourier-Stieltjes de $\mu$.

De manera similar, en la recta real $ℝ$, l'espai $C_0(ℝ)$ de funcions contínues que s'anulen en l'infinit és l'espai dual de $M(ℝ)$ i $C_0(ℝ)\subset L^p(ℝ)$ para tot $1\le p\le \mathrm{\infty }$.

Dau $\mu \in M(ℝ)$, siga $${\mu }_{pp}=\sum _j{c}_j{\delta }_{x_j},$$ la seua part discreta. Llavors $$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2R}\underset{-R}{\overset{R}{\int }}|\hat{\mu }(\xi ){|}^{2}d\xi =\sum _j|c_j{|}^2,$$ a on $\hat{\mu }(\xi )=\underset{ℝ}{\int }{e}^{-2\pi i\xi x}d\mu (x)$ és la transformada de Fourier-Stieltjes de $\mu$.

Conseqüències

Si $\mu \in M(𝕋)$ és contínua, llavors $$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^N|\hat{\mu }(n){|}^2=0.$$ Ademés, $\hat{\mu }$ tendix a zero si $\mu$ és absolutament contínua. De forma equivalent, $\mu$ és absolutament contínua si la seua seqüència de Fourier-Stieltjes pertany al espai de seqüències ${\ell }^2$. És dir, si $\mu$ no assigna massa als conjunts de mida de Lebesgue zero (és dir, ${\mu }_{pp}=0$), llavors $\hat{\mu }\to 0$ quan $|N|\to \mathrm{\infty }$. Pel contrari, si $\hat{\mu }\to 0$ quan $|N|\to \mathrm{\infty }$, llavors $\mu$ no assigna massa als conjunts numerables.

Una mida de provabilitat $\mu$ en el círcul és una massa de Dirac si i solament si $$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^N|\hat{\mu }(n){|}^2=1.$$ Ací, l'implicació no trivial es deriva del fet de que els pesos $c_j$ són positius i satisfan $$1=\sum _j{c}_j^2\le \sum _j{c}_j\le 1,$$ lo que obliga a $c_j^2=c_j$ i, per lo tant, a $c_j=1$, de modo que deu haver un únic àtom en massa $1$.

Demostració

• En primer lloc, observem que si $\nu$ és una mida complexa en el círcul, llavors

$\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^N\hat{\nu }(n)=\underset{𝕋}{\int }{f}_N(z)d\nu (z),$

en $f_N(z)=\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^N{z}^{-n}$. La funció $f_N$ està acotada per $1$ en valor absolut i té $f_N(1)=1$, mentres que $f_N(z)=\frac{z^{N+1}-z^{-N}}{(2N+1)(z-1)}$ per a $z\in 𝕋\setminus \{1\}$, que convergix a $0$ quan $N\to \mathrm{\infty }$. Per lo tant, segons el Teorema de la convergència dominada,

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^N\hat{\nu }(n)=\underset{𝕋}{\int }{1}_{\{1\}}(z)d\nu (z)=\nu (\{1\}).$

Ara prenem ${\mu }^{\prime }$ com la mida espentada de $\bar{\mu }$ baix l'aplicació inversa en $𝕋$, és dir, ${\mu }^{\prime }(B)=\overline{\mu (B^{-1})}$ per a qualsevol conjunt boreliano $B\subseteq 𝕋$. Esta mida complexa té coeficients de Fourier $\widehat{{\mu }^{\prime }}(n)=\overline{\hat{\mu }(n)}$. Anem a aplicar lo anterior a la convolución entre $\mu$ i ${\mu }^{\prime }$, és dir, elegim $\nu =\mu *{\mu }^{\prime }$, lo que significa que $\nu$ és la bestreta de la mida $\mu \times {\mu }^{\prime }$ (en $𝕋\times 𝕋$) baix l'aplicació de producte $\cdot :𝕋\times 𝕋\to 𝕋$. Pel teorema de Fubini

$\hat{\nu }(n)=\underset{𝕋\times 𝕋}{\int }(zw{)}^{-n}d(\mu \times {\mu }^{\prime })(z,w)=\underset{𝕋}{\int }\underset{𝕋}{\int }{z}^{-n}{w}^{-n}d{\mu }^{\prime }(w)d\mu (z)=\hat{\mu }(n)\widehat{{\mu }^{\prime }}(n)=|\hat{\mu }(n){|}^2.$

Per lo tant, segons l'identitat derivada anteriorment, $\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^N|\hat{\mu }(n){|}^2=\nu (\{1\})=\underset{𝕋\times 𝕋}{\int }{1}_{\{zw=1\}}d(\mu \times {\mu }^{\prime })(z,w).$ De nou, pel teorema de Fubini, el costat dret és igual a

$\underset{𝕋}{\int }{\mu }^{\prime }(\{z^{-1}\})d\mu (z)=\underset{𝕋}{\int }\overline{\mu (\{z\})}d\mu (z)=\sum _j|\mu (\{z_j\}){|}^2=\sum _j|c_j{|}^2.$

• La demostració de l'afirmació anàloga per a la recta real és idèntica, llevat que utilisem l'identitat

$\frac{1}{2R}\underset{-R}{\overset{R}{\int }}\hat{\nu }(\xi )d\xi =\underset{ℝ}{\int }{f}_R(x)d\nu (x)$

(que es deduïx del teorema de Fubini), a on $f_R(x)=\frac{1}{2R}\underset{-R}{\overset{R}{\int }}{e}^{-2\pi i\xi x}d\xi$. Observem que $|f_R|\le 1$, $f_R(0)=1$ i $f_R(x)=\frac{e^{2\pi iRx}-e^{-2\pi iRx}}{4\pi iRx}$ per a $x\ne 0$, que convergix a $0$ quan $R\to \mathrm{\infty }$. Per lo tant, segons el teorema de convergència dominada, tenim l'identitat anàloga

$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2R}\underset{-R}{\overset{R}{\int }}\hat{\nu }(\xi )d\xi =\nu (\{0\}).$

Vore també

• Problema del moment trigonométrico

Bibliografia

• Helson, Henry. Harmonic Analysis (vol. 7), Hindustan Book Agency. doi:10.1007/978-93-86279-47-7. ISBN 978-93-80250-05-2.
• Katznelson, Yitzhak (1976). An introduction to harmonic analysis, Dover Publications. ISBN 978-0-486-63331-2.
• Lyons, Russell. “Fourier-Stieltjes Coefficients and Asymptotic Distribution Module 1”. The Annals of Mathematics 122 (1). doi:10.2307/1971372.