Matriu S

En mecànica quàntica, la matriu S o matriu de scattering és un tipo de formalisme usat per a calcular el resultat d'un problema de scattering (dispersió) de partícules quàntiques interactuantes. Matemàticament ve dau per un operador S entre dos espais de Hilbert, quan el conjunt d'estats quàntics admissibles inicial i final és finito llavors l'operador S es reduïx a una matriu i d'ahí el seu nom (ya que en els seus inicis va ser concebut com una matriu entre un conjunt possible d'estats).

Introducció

En el formalisme habitual, molts problemes de dispersió en partícules subatòmiques que s'influïxen mútuament per mig d'interacció electromagnètica, interacció forta o interacció dèbil no poden ser resolts de manera exacta. El formalisme de la matriu S permet realisar els càlculs numèrics per a molts casos que no admeten un tractament exacte. L'idea bàsica del método consistix en supondre que els estats inicial i final d'un sistema de partícules interectuantes són autoestados del hamiltoniano lliure (sense interacció). L'estat inicial es considera un estat del passat remot (que físicament es concep com l'estat de les partícules quan estan molt llunt entre sí, abans d'escomençar a interacutar, i per tant són autoestados "lliures"), mentres que l'estat final es considera també com un estat lliure d'interacció en el futur remot, com el que alcançaran les partícules quan s'hagen separat definitivament i no s'eixercixquen influències mútues. Estes consideracions permeten construir els espais de Hilbert de les partícules entrantes i eixints, a partir de l'espai de Hilbert d'una partícula lliure aïllada.

Motivació

En la física de partícules d'altes energies, resulta important calcular les provabilitats dels diferents possibles resultats (estats finals) de diversos experiments de dispersió. Estos experiments poden dividir-se en tres etapes:

1. Colisió conjunta d'una colecció de partícules subatòmiques entrantes (usualment dos partícules d'alta energia).
2. Interacció entre les partícules. Estes interaccions poden canviar els tipos de partícules presents (per eixemple un electró i un positrón pot aniquilar-se mútuament produint dos fotons resultants de dita interacció) o poden simplement provocar atracció o repulsió, emergint de nou les mateixes partícules encara que en direccions diferents de les d'entrada, i en moments distints.
3. Medida i còmput de les partícules eixints.

Per a que el formalisme de la matriu S siga aplicable és necessari posseir una teoria física del procés d'interacció que permeta calcular les provabilitats dels diferents resultats possibles. El procés de colisió no és enterament determinista, ademés el resultat o estat final depén de l'energia entrante, en les partícules i els seus moments. Esta, l'energia inicial afecta críticament a cual serà el resultat més provable, és dir, segons l'energia de les partícules entrantes el resultat més provable pot ser un o un atre (per eixemple en la desintegració de la posada Kaón Large, en tres Piones, normalment, i atres voltes en dos). Quan les condicions de densitat de partícules són les suficientment baixes es considera que pot usar-se en prou bona aproximació el formalisme de la matriu S, per a aproximar la solució exacta de la teoria quàntica de camps per al problema de dispersió.

Us de matrius S

La matriu S esá estretament relacionada en les amplitut de provabilitat de transició de la mecànica quàntica i en les seccions eficaces de les diverses interaccions. Les components o entrades numèriques de la matriu S es coneixen com a amplitut de scattering. l'amplitut de provabilitat d'observar un procés de scattering en un estat inicial $|a⟩$ i en un estat final $|b⟩$ ve donada per definició per:

Cada element de matriu S representa, per tant, una amplitut de provabilitat d'un procés físic. A on deu senyalar-se que els estats a i b són estats idealizados o asintòtics definits per l'absència d'interacció entre abdós (degut a que abdós descriguen partícules alluntades de la localisació a on es produïx l'interacció).

La matriu S aixina definida depén de l'energia de la colisió, si s'estén al pla complex la funció que dona la matriu S en térmens de l'energia, resulta que els pols de dita funció poden identificar-se en els estats lligats els estats virtuals o les resonàncies. Els punt de ramifición de la matriu S en el pla complex estan associats a l'obertura d'un canal de scattering.

En l'enfoque hamiltoniano de la teoria quàntica de camps, la matriu S pot calcular-se com l'exponencial temporalment ordenada de l'integral del hamiltoniano en la "image" d'interacció. El càlcul de dita exponencial pot expressar-se també com integral de camí. En qualsevol d'eixes dos representacions pot usar-se un càlcul perturbativo de la matriu S per mig de diagrames de Feynman.

En teoria de la dispersió, la matriu S és un operador que aplica a l'estat de les partícules entrantes, l'estat d'una partícula eixint en la "image" de Heisenberg. Açò resulta molt útil ya que freqüentment no és possible descriure exactament tots els detalls de l'interacció (o a lo manco alguns dels més interessants).

Aspectes formals

Formalment la matriu S es definix com un operador unitari entre els espais de Hilbert.

El primer espai de Hilbert conté vectores que representen els estats asintóticamente possibles d'una partícula o conjunt de partícules "entrante" i el segon representa al conjunt d'estats asintòtics de les partícules "eixints". L'idea bàsica és representar l'efecte d'una colisió o interacció complexa de partícules observant les partícules entrantes i observant les partícules eixints. La matriu S pot predir la provabilitat de cada possible estat final en funció de l'estat inicial, de fet l'estat inicial i final estan relacionats per:

Tècnicament la matriu es pot definir per a qualsevol espai-temps asintóticamente soluble sense horisó, encara que comunament es planteja sobre un espai-temps pla de Minkowski, ya que matemàticament és la situació més simple. Per a este cas particularment simple, l'espai de Hilbert entrante i eixint és l'espai a on actua una representació irreducible unitària del grup de Lorentz inhomogéneo. I ademés la matriu S admet una representació com a producte d'operadors unitaris d'evolució.

Definició matemàtica

Usant la notació de Dirac, l'estat del buit quàntic es representa senzillament com $|0⟩$. Si $a^{†}(k)$ és un operador de creació, la seua conjugat hermítico, és l'operador d'aniquilació o destrucció, l'acció de la qual sobre el vector associat a l'estat de buit quàntic és:

En estes condicions es definixen dos tipos d'operadors de creació i destrucció que actuen sobre diferents espais de Hilbert (l'espai d'estats inicial i, i l'espai d'estats final f), $a_i^{†}(k)$ and $a_f^{†}(k)$. De tal manera que:

És possible assumir que $|I,0⟩$ i $|F,0⟩$ són abdós invariantes baix translacions i que els estats $|I,k_1\dots k_n⟩$ i $|F,p_1\dots p_n⟩$ són autoestados del operador de moment llineal ${𝒫}^{\mu }$, "conectant" i "desconectant" adiabáticamente l'interacció.

En la "image" de Heisenberg els estats són independents del temps, de tal manera que els estats inicials poden expressar-se com a combinació llineal d'una base per als estats finals i viceversa, tal com seguix:

a on ${\left|C_m\right|}^2$ és la provabilitat de que l'interacció transforme $|I,k_1\dots k_n⟩$ en $|F,p_1\dots p_m⟩$

D'acort en el teorema de Wigner, $S$ deu ser un operador unitari tal que $⟨I,\beta |S|I,\alpha ⟩=S_{\alpha \beta }=⟨F,\beta |I,\alpha ⟩$. És més, $S$ deixa l'estat de buit quàntic invariante i les transformacions de camps de l'espai d'estats inicials en estats de l'espai final:

Si la S descriu l'interacció correctament deu complir-se que dos estats inicial i final, per als quals la seua amplitut de provabilitat no siga nula deguen tindre la mateixa energia i moment (i eventualment atres lleis de conservació també deuen complir-se).

Relació entre la matriu S i l'operador d'evolució O

Usant l'image de Heisenberg per a relacionar-los operadors rellevants en l'interacció, es té que:

Per tant,

perque

$S|0⟩=|0⟩.$

Substituyendo l'expressió explícita para O s'obté:

$S=\frac{1}{⟨0|U(\mathrm{\infty })|0⟩}𝒯e^{-i\int d\tau V_i(\tau )}.$

Esta equació no obstant no és explícitament covariant.

Nota històrica

La matriu S va ser introduïda per primera volta per John Archibald Wheeler en un artícul de 1937 titulat "'On the Mathematical Description of Light Nuclei by the Method of Resonating Group Structure'". En eixe artícul Wheeler va introduir una matriu de scattering que era una matriu unitària de coeficients que conectaven "el comportament asintòtic d'una solució particular arbitrària [d'un sistema d'equacions integrals] en les solucions d'una forma estàndar".

En la década de 1940 Werner Heisenberg va desenrollar, independentment, l'idea de la matriu S. Per les divergències que plagaban la teoria quàntica de camps tal com s'usava en eixe temps, Heisenberg va tractar d'aïllar les característiques essencials de la teoria que pogueren no vore's afectades per canvis futurs en la teoria. En fer això va introduir una matriu S "característica" unitària.

Càlcul explícit de la matriu S

Serie de Dyson

El hamiltoniano quàntic que descriu un sistema pot ser dividit en una part que representa l'evolució lliure sense interacció (hamiltoniano lliure o no pertorbat) ${\hat{H}}^0$, i que per tant no conté térmens d'interacció i una segona part que inclou tots els térmens d'interacció (hamiltoniano de intercción o destorbament) ${\hat{H}}^I$.

En l'image d'evolució temporal de Schrödinger és vàlida l'equació de Schrödinger:

Definint la cridada image d'interacció com:

d'ací pot escriure's:

és dir, en l'image d'interacció, els estats evolucionen d'acort en una dinàmica donada exclusivament pel hamiltoniano d'interacció.

Per a obtindre la matriu S, es definixen els seus elements com:

Per a calcular explícitament $S_{f,i}$ es reescriu en forma integral l'equació de Schrödinger per a la funció d'a on en l'image d'interacció:

Ya que $|{\psi }_I(\tau )⟩$ satisfà una equació anàloga és possible iterar una i una atra volta esta equació fins a obtindre un desenroll perturbativo:

I a partir d'eixe desenroll s'obté:

a on $T$ indica el producte cronològicament ordenat dels operadors entre paréntesis:

a on $\theta (x^0-y^0)$ és la funció escaló unitari de Heaviside.

El desenroll anterior és precisament la série de Dyson per a la matriu $S$. I per tant dita matriu pot ser calculada fins a qualsevol orde d'aproximació per mig de la série anterior, usant el teorema de Wick.

Formalisme LSZ

Artícul principal → fòrmula de reducció de LSZ.

De manera alternativa pot usar-se la fòrmula de reducció de LSZ per a calcular els elements de la matriu S. Este procediment és més sofisticat i és preferible en teoria quàntica de camps, no fa us de la série de Dyson, encara que sí usa la funcions de Green proporcionandas per la formulació per mig d'integrals funcionals.

Per a ilustrar este tipo de càlcul es considera un cas particular, el d'un camp escalar $\varphi$ en massa associada m i en una acció donada per_

a on $V(\varphi )$ pot ser, per eixemple, un terme d'interacció del tipo $\lambda {\varphi }^4$, que pel moment no és necessari especificar.

Les funcions de Green de n punts estan definides com els valors esperats sobre el buit del producte cronològic ordenat de n camps:

Estes funcions són calculables perturbativamente a través del citat teorema de Wick. Pot demostrar-se que la transformada de Fourier de les funcions de Green tenen pols que es corresponen en les masses físiques de les partícules, degut a que quan $p_{\mu }{p}^{\mu }=m^2$ dites funcions tenen un pol. A estos pols li corresponen pròpiament els estats asintòtics de la teoria: de fet, estos estats són creats o destruïts pels camps "in" i "out", que satisfan l'equació de Klein-Gordon

que diferixen de les equacions de moviment correctes solament per l'absència del potencial d'interacció. en conseqüència, i de modo intuïtiu, és necessari extraure la contribució dels pols de les funcions de Green per a obtindre les funcions de Green construïdes en els camps asintòtics, que generen pròpiament els elements de la matriu S desijats. Si en l'estat inicial estan presents m partícules en moments llineals q₁,...,q_m i en l'estat final hi ha n partícules en moments p₁,...,p_n, la fòrmula que descriu el procediment ve donada per:

El procés d'extracció del pol és més evident si la fòrmula es escrib en térmens de la transformada de Fourier de la funció de Green. A banda de la multiplicació per algunes constants (entre les quals estan la constant del normalisació dels camps Z) la fòrmula mostra que basta multiplicar les funcions de Green pels factors $p^2-m^2$, que eliminen els pols, i despuix fer el llímit on-shell dels moments llineals, és dir, $p^2\to m^2$ corresponent a les partícules físiques:

Referències

Bibliografia

• Barut (1967). The Theory of the Scattering Matrix.
• Tony Philips. «Finite-dimensional Feynman Diagrams». What's New In Math. American Mathematical Society. Consultat el 23 d'octubre de 2007.