Matriu de Vandermonde

Matriu de Vandermonde és, en àlgebra llineal, una matriu que presenta una progressió geomètrica en cada fila. Esta matriu rep dit nom en honor al matemàtic francés Alexandre-Théophile Vandermonde.

Els índexs de la matriu de tamany n×n estan descrits per $V_{i,j}={\alpha }_i^{j-1}$ per a tots els índexs i i j variant d'1 a n, la qual cosa es pot descriure explícitament de la forma següent:

$V=\left[\begin{array}{ccccc}1& {\alpha }_1& {\alpha }_1^2& \dots & {\alpha }_1^{n-1}\\ 1& {\alpha }_2& {\alpha }_2^2& \dots & {\alpha }_2^{n-1}\\ 1& {\alpha }_3& {\alpha }_3^2& \dots & {\alpha }_3^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\alpha }_n& {\alpha }_n^2& \dots & {\alpha }_n^{n-1}\end{array}\right]$

En el primer element de cada fila hi ha solament us (en ser el resultat d'elevar els respectius ${\alpha }_i$ a zero) i en el segon element hi ha una série de números arbitraris. En el tercer es troben eixos mateixos números elevats al quadrat. En el quarto estan eixos mateixos números elevats a la gaveta i en les següents columnes elevats a la potència immediatament superior de manera que en l'element n de cada fila eixos números estiguen elevats a la potencia n-1.

Una matriu de Vandermonde és invertible si i només si totes les ${\alpha }_i$ són distintes entre sí. Hi ha una fòrmula per a dita inversa.

Determinant de Vandermonde

El determinant d'una matriu de Vandermonde de tamany n×n s'expressa en la següent fòrmula general:

$\left|\begin{array}{c}V\end{array}\right|=\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_j-{\alpha }_i)$

Esta fòrmula és denominada en algunes oportunitats com el discriminante, pero en general este es definix com el quadrat de la fòrmula anterior.

Esta fòrmula es pot demostrar per inducció. És fàcil notar que en el cas d'una matriu de 2×2 el resultat és correcte.

$\left|\begin{array}{c}V\end{array}\right|=v_{1,1}{v}_{2,2}-v_{1,2}{v}_{2,1}={\alpha }_2-{\alpha }_1=\prod _{1\le i<j\le 2}({\alpha }_j-{\alpha }_i)$

Ara, generalisant per al cas n×n n'hi ha prou en realisar la següent operació elemental sobre cada columna: $C_j\to C_j-({\alpha }_1\times C_{j-1})$. Esta operació no afecta al determinant, per lo que s'obté lo següent:

$\left|\begin{array}{c}V\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}1& {\alpha }_1& {\alpha }_1^2& \dots & {\alpha }_1^{n-1}\\ 1& {\alpha }_2& {\alpha }_2^2& \dots & {\alpha }_2^{n-1}\\ 1& {\alpha }_3& {\alpha }_3^2& \dots & {\alpha }_3^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\alpha }_n& {\alpha }_n^2& \dots & {\alpha }_n^{n-1}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \dots & 0\\ 1& {\alpha }_2-{\alpha }_1& {\alpha }_2({\alpha }_2-{\alpha }_1)& \dots & {\alpha }_2^{n-2}({\alpha }_2-{\alpha }_1)\\ 1& {\alpha }_3-{\alpha }_1& {\alpha }_3({\alpha }_3-{\alpha }_1)& \dots & {\alpha }_3^{n-2}({\alpha }_3-{\alpha }_1)\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\alpha }_n-{\alpha }_1& {\alpha }_n({\alpha }_n-{\alpha }_1)& \dots & {\alpha }_n^{n-2}({\alpha }_n-{\alpha }_1)\end{array}\right|$

Calculant el determinant, s'elimina la primera fila de zeros i la primera columna d'uns, quedant llavors el determinant d'una matriu de n-1×n-1:

$\left|\begin{array}{c}V\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{\alpha }_2-{\alpha }_1& {\alpha }_2({\alpha }_2-{\alpha }_1)& \dots & {\alpha }_2^{n-2}({\alpha }_2-{\alpha }_1)\\ {\alpha }_3-{\alpha }_1& {\alpha }_3({\alpha }_3-{\alpha }_1)& \dots & {\alpha }_3^{n-2}({\alpha }_3-{\alpha }_1)\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\alpha }_n-{\alpha }_1& {\alpha }_n({\alpha }_n-{\alpha }_1)& \dots & {\alpha }_n^{n-2}({\alpha }_n-{\alpha }_1)\end{array}\right|$

Seguint en el desenroll del determinant, es poden factorizar els productes de diferències ubicats en les diagonals quedant una nova matriu de Vandermonde de n-1×n-1.

$\left|\begin{array}{c}V\end{array}\right|=({\alpha }_2-{\alpha }_1)({\alpha }_3-{\alpha }_1)\dots ({\alpha }_n-{\alpha }_1)\left|\begin{array}{ccccc}1& {\alpha }_2& {\alpha }_2^2& \dots & {\alpha }_2^{n-2}\\ 1& {\alpha }_3& {\alpha }_3^2& \dots & {\alpha }_3^{n-2}\\ 1& {\alpha }_4& {\alpha }_4^2& \dots & {\alpha }_4^{n-2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& {\alpha }_n& {\alpha }_n^2& \dots & {\alpha }_n^{n-2}\end{array}\right|$

El procés es pot repetir contínuament reduint l'orde de la matriu, quedant aixina provat el procediment per inducció i la demostració de la fòrmula indicada en un començ.

Aplicacions

Estes matrius són útils en l'interpolació de polinomis, ya que resolent el sistema d'equacions $V_u=y$, para o en V la matriu de Vandermonde d'orde n×n és equivalent a trobar els coeficients $u_j$ del polinomi

$P(x)=\sum _{j=0}^{n-1}{u}_j{x}^j$

de grau ≤ n−1 que té els valors $y_i$ en ${\alpha }_i$. Este sistema està mal condicionat puix el número de condició de la matriu de Vandermonde és molt elevat. Per això és aconsellable utilisar-la per a l'interpolació de polinomis. El determinant de Vandermonde eixercita un paper important en la fòrmula de Frobenius que dona el caràcter de les classes conjugades de les representacions del grup simètric.

Quan els valors ${\alpha }_k$ sobre potències d'un cos finito, llavors el determinant és més comunament conegut com el determinant de Moore, que té un número d'interessants propietats.

Les matrius confluentes de Vandermonde s'usen en l'interpolació polinòmica de Hermite, mentres que una matriu de Vandermonde especial comunament coneguda és la transformada de Fourier discreta.

En àlgebra llineal, el fet de que el determinant de la matriu de Vandermonde no siga nul, demostra que un conjunt de covectores del espai dual de $K[x]$ definit com $f_{a_i}(P)=P(a_i)$, en $i=1,\mathrm{..},n+1$, és linealmente independent.

Vore també

• Polinomi de Lagrange
• Wronskiano

Bibliografia

• Horn, Roger A. (1991). Topics in matrix analysis (en anglés), Cambridge: Cambridge University Press.