On Numbers and Games

On Numbers and Games (Sobre números i jocs) és un llibre de John Horton Conway publicat per primera volta en 1976. Encara que el llibre està dirigit a uns atres matemàtics, està desenrollat d'una manera lúdica i sense pretensions, i molts capítuls són accessibles per als no matemàtics. Martin Gardner va discutir el llibre extensament, particularment la construcció de números surreales de Conway, en la seua columna Mathematical Games en Scientific American en setembre de 1976.

El llibre està dividit aproximadament en dos seccions: la primera mitat (o part zero), sobre números, la segona mitat (o primera part), sobre jocs. En la primera secció, Conway proporciona una construcció axiomàtica de números i aritmètica ordinal, a saber, els número entero, reals, l'infinit contable i torres sanceres d'infinits ordinals, usant una notació que és essencialment una variació casi trillada (pero críticament important) del tall Dedekind. Com a tal, la construcció té les seues raïls en la teoria axiomàtica de conjunts i està estretament relacionada en els axioma de Zermelo-Fraenkel. La secció també cobrix lo que Conway (adoptant la nomenclatura de Knuth) va denominar els "números surreales".

Conway després observa que, en esta notació, els números pertanyen de fet a una classe més gran, la classe de tots els jocs de dos jugadors. Els axioma de major que i menor que es consideren un orde natural en els jocs, corresponent a quin dels dos jugadors pot guanyar. El restant del llibre està dedicat a explorar una série de jocs per a dos jugadors diferents (no tradicionals, inspirats matemàticament), com Nim, Hackenbush i els jocs de colorear mapes Col i Snort. El desenroll inclou la seua puntuació, una revisió del teorema de Sprague-Grundy i les interrelacions en els números, inclosa la seua relació en infinitesimals.

Sinopsis

Un joc en el sentit de Conway és una posició en un concurs entre dos jugadors, Esquerra i Dreta. Cada jugador té un conjunt de jocs cridats opcions per a elegir a la seua volta. Els jocs s'escriuen {L | R} a on L és el conjunt d'opcions de la esquerra i R és el conjunt d'opcions de la dreta. Al principi no hi ha jocs, per lo que el conjunt buit (és dir, el conjunt sense membres) és l'únic conjunt d'opcions que podem oferir als jugadors. Açò definix el joc {|}, que es diu 0. Considerem a un jugador que deu jugar una tanda pero no té opcions d'haver perdut el joc. Donat este joc 0 ara hi ha dos possibles conjunts d'opcions, el conjunt buit i el conjunt l'únic element del qual és zero. El joc {0 |} es diu 1 i el joc {| 0} es diu -1. El joc {0 | 0} es diu * (estrela) i és el primer joc que trobem que no és un número.

Tots els números són positius, negatius o zero, i diem que un joc és positiu si Esquerra té una estratègia guanyadora, negatiu si Dreta té una estratègia guanyadora o zero si el segon jugador té una estratègia guanyadora. Els jocs que no són números tenen una quarta possibilitat: poden ser confusos , lo que significa que el primer jugador té una estratègia guanyadora. * és un joc difuso.

Vore també

• Winning Ways for your Mathematical Plays