Poliedre toroidal

És possible construir un bou polièdric per a aproximar una superfície tórica a partir d'una ret de cares en forma de quadrilàter, com en este eixemple de 6x4

En geometria, un poliedre toroidal és un tipo de poliedre que també és un toroide (un bou en g orificis), que té un gènero topològic d'1 o més. Eixemples notables inclouen els poliedres de Császár i de Szilassi.

Variacions en la definició

Els poliedres toroidales es definixen com a coleccions de polígons que es troben en les seues vores i vèrtiços, formant una varietat en dos propietats particulars:: cada aresta deu ser compartida per exactament dos cares polígonales, i l'enllaç de cada vèrtiç deu formar un sol cicle en el que s'alternen entre les arestes i els polígons que es troben en eixe vèrtiç. Per als poliedres toroidales, esta varietat ademés és una superfície orientable. Alguns autors restringixen la frase "poliedres toroidales" per a que signifique més específicament poliedres topológicamente equivalents a un bou (és dir, de gènero 1).

En esta àrea, és important distinguir els poliedres toroidales incrustats (que les seues cares són polígons plans en l'espai euclidiano tridimensional que no es creuen entre sí), dels poliedres abstractes (superfícies topològiques sense cap realisació geomètrica específica). Intermijos entre estos dos extrems són els poliedres formats per polígons geomètrics o per polígons d'estrela en l'espai euclidiano (que es poden creuar entre sí).

En tots estos casos, la naturalea toroidal d'un poliedre es pot verificar pel seu orientabilidad i pel seu característica de Euler, que no és positiva. La característica de Euler es generalisa a V − A + L = 2 − 2N, a on N és el número de forats.

Poliedres de Császár i Szilassi

Model interactiu d'un poliedre de Szilassi, en cada cara d'un color diferent. En l'image SVG, moga's la rata cap a l'esquerra i cap a la dreta per a rotarlo.

Model interactiu d'un poliedre de Csaszar. En l'image SVG, moga's la rata per a rotarlo.

Dos dels poliedres toroidales incrustats més simples possibles són els poliedres de Császár i Szilassi.

El poliedre de Császár és una figura toroidal de sèt vèrtiços en 21 arestes i 14 cares triangulars. Este i el tetraedre són els únics poliedres coneguts en els que cada segment de llínea possible que conecta dos vèrtiços forma una aresta del poliedre. El seu dual, el poliedre de Szilassi, té sèt cares hexagonals adjacents entre sí, i implica la mitat del teorema del número mínim de colors necessaris per a colorear un mapa en un bou (gènero un), que és sèt.

El poliedre de Császár té la menor cantitat de vèrtiços possibles de qualsevol poliedre toroidal incrustat, i el poliedre de Szilassi té la menor cantitat de cares possibles de qualsevol poliedre toroidal incrustat.

Vore també

• Poliedre proyectivo
• Apeiroedro biaixat (poliedre de biaix infinit)
• Poliedre esfèric
• Gràfic toroidal