Polinomi de Hurwitz

En matemàtiques, un polinomi de Hurwitz, nomenat per Adolf Hurwitz, és un polinomi que les seues raïls (zeros) estan localisats en el semiplano esquerre del pla complex, o en l'eix imaginari, açò vol dir que la partix real de cada raïl és zero o negativa.^[1]^[2] Tal polinomi deu tindre coeficients que són reals positius. El terme està a voltes restringit per a polinomis les raïls dels quals tinguen parts reals estrictament negatives, excloent els eixos (ej. un polinomi estable de Hurwitz).^[3]

Una funció polinòmica $P (s)$ d'una variable complexa $s$ es diu que és de Hurwitz si satisfà les següents condicions:

$P (s)$ és real quan $s$ és real.
Les raïls de $P (s)$ tenen parts reals les quals són zero o negatives.

Els polinomis de Hurwitz són importants en la teoria dels sistemes de control, perque representen les equacions característiques de sistemes lineares estables. Si un polinomi és de Hurwitz, pot ser determinat resolent l'equació per a trobar les raïls, o des dels coeficients sense resoldre l'equació, pel criteri d'estabilitat de Routh-Hurwitz.

Eixemples

Un simple eixemple d'un polinomi de Hurwitz és el següent:

x^{2} + 2 x + 1.

L'única solució real és $- 1,$ ya que es factoriza a

(x + 1)^{2} .

En general, tots els polinomis de segon grau en coeficients positius són de Hurwitz. Açò es deduïx directament des de la fòrmula quadràtica:

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a},

a on, si el determinant és $b^{2} - 4 a c$ és menys de zero, llavors el polinomi tindrà que conjugar la part real $- b / a$ , la qual és negativa per a $a$ i $b$ positius. Si és igual a zero, llavors hi haurà solucions reals coincidentes en $- b / a$ . Finalment, si el determinants és major a zero, llavors hi haurà dos solucions reals negatives, perque $\sqrt{b^{2} - 4 a c} < b$ per a $a$ , $b$ i $c$ positius.

Propietats

Per a que un polinomi siga de Hurwitz, és necessari, pero no suficient, que tots els seus coeficients siguen positius (llevat els polinomis de segon grau, els quals tampoc impliquen suficiència). Una condició necessària i suficient per a que un polinomi siga de Hurwitz és que passe el criteri d'estabilitat de Routh-Hurwitz. Un polinomi donat pot ser eficientemente provat per a ser de Hurwitz o no utilisant la tècnica de l'expansió de la fracció de Routh.

Les propietats dels polinomis de Hurwitz són:

Tots els pols i zeros estan en el semiplano esquerre o, en el seu llímit, en l'eix imaginari.
Tots els pols i zeros en l'eix imaginari són simples (la seua multiplicitat és un).
Tots els pols en l'eix imaginari tenen restants reals estrictament positius i, similarment, en cada zero en l'eix imaginari, la funció té una derivada real estrictament positiva.
Sobre el semiplano dret, el valor mínim de la part real d'una funció PR (positiu-real) ocorre en l'eix imaginari (perque la part real d'una funció analítica constituïx una funció harmònica sobre el pla, i per lo tant satisfà el principi del màxim).
El polinomi no pot tindre potències faltantes de $s$ .

Referències

↑ Kuo (1966). Network Analysis and Synthesis, 2dona edició (en anglés), John Wiley & Sons, pp. 295-296. ISBN 978-0-471-51118-2.
↑ Chen, Wayne H. (1964). Linear Network Design and Synthesis (en anglés), McGraw-Hill, p. 63. ISBN 978-0-070-10756-4.
↑ «Hurwitz Polynomial». MathWorld. Wolfram Research. Consultat el 10 de febrer de 2017.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Polinomio de Hurwitz» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Kuo (1966). Network Analysis and Synthesis, 2dona edició (en anglés), John Wiley & Sons, pp. 295-296. ISBN 978-0-471-51118-2.

[2] Chen, Wayne H. (1964). Linear Network Design and Synthesis (en anglés), McGraw-Hill, p. 63. ISBN 978-0-070-10756-4.

[3] «Hurwitz Polynomial». MathWorld. Wolfram Research. Consultat el 10 de febrer de 2017.

[1]

[2]

[3]