Sen cardinal

Sen cardinal

Sinc(x) normalisada (blava) front a la sinc desnormalizada (roig) en la mateixa escala: x = −6π a 6π.

En matemàtica, el sen cardinal és una funció especial denotada per $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)$; té dos definicions, la «normalisada» i la «desnormalizada», que es definixen de la següent forma:

1. En processament digital de senyals i teoria de l'informació, la funció sinc normalisada comunament es definix com:

   ${\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}_N(x)=\frac{\mathrm{sen}(\pi x)}{\pi x}$

2. En matemàtica, l'històrica funció sinc desnormalizada, està definida per:

   $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)=\frac{\mathrm{sen}(x)}{x}$

En abdós casos el valor de la funció té una singularitat evitable en zero, que generalment es redefinix específicament com a igual a 1. El sen cardinal és analític en tot el domini dels número real, llevat para el valor $x=0$

La funció «desnormalizada» és idèntica a la «normalisada» llevat pel factor d'escala faltante en l'argument. La funció sinc correspon a la transformada de Fourier d'un pols rectangular, i la transformada inversa de Fourier d'un espectre rectangular és una sinc.

Resenya històrica

Sinc és una contracció del nom llatí complet de la funció sinus cardinalis («sen cardinal»). La notació va ser introduïda pel matemàtic i ingenier britànic Philip Woodward en el seu artícul de 1952 Information theory and inverse probability in telecommunication (Teoria de l'Informació i provabilitat inversa en les telecomunicacions), en el que va afirmar que la funció «es reproduïx en tanta freqüència en l'anàlisis de Fourier i en les seues aplicacions, que sembla meréixer alguna notació pròpia». Esta notació també apareix utilisada en el seu llibre de 1953 "Probability and Information Theory, with Applications to Radar" (Provabilitat i Teoria de l'Informació, en aplicacions al Radar).

En anterioritat, ya en 1915, el també matemàtic britànic Edmund Whittaker (1873 - 1956) havia utilisat esta funció aplicada a processos de mostreig, encara que no li va donar nom ni notació específics. La funció permet resoldre el problema de:

Determinar una funció que passa pels punts $(a+kw,f(a+kw))$, a on $k$ és un número entero, i $w$ és un número complejo, obtenint una interpolació tan suau com siga possible, sense singularitats i en ràpides oscilacions dels valors tabular daus de $f(x)$.

i pren la forma:

$C(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(a+kw)\frac{\mathrm{sen}(\frac{\pi }{w})(x-a-kw)}{(\frac{\pi }{w})(x-a-kw)}$

Propietats

Els màxims i mínims locals (menuts punts blancs) de la funció sinc sense normalisar (curva de color roig), coincidixen en les seues interseccions en la funció coseno (curva de color blau).

Partix real de sinc complexa Re(sinc z) = Re(Plantilla:Sfrac).

Partix imaginària de sinc complexa Im(sinc z) = Im(Plantilla:Sfrac).

Valor absolut
Plantilla:Absf = Plantilla:Absf.

Els zeros (corts en l'eix horisontal) de la funció sinc sense normalisar estan en múltiples sancers de π no nuls, mentres que els zeros de la funció sinc normalisada es localisen en número entero distints de zero.

Els màxims i mínims locals de la funció sinc sense normalisar es corresponen en les seues interseccions en la funció coseno. És dir, Plantilla:Sfrac = cos(ξ) para tots els punts ξ a on la derivada de Plantilla:Sfrac és zero i per lo tant s'alcança un valor extrem local.

Una bona aproximació de la coordenada x del valor extrem enèsim n, en x positiu, és la coordenada

$x_n\approx (n+\frac{1}{2})\pi -\frac{1}{(n+\frac{1}{2})\pi },$

a on n impar du a un mínim local i n parell a un màxim local. Ademés de valors extrems en x_n, la curva té un màxim absolut en ξ₀ = (0,1) i per la seua simetria respecte a l'eix i, també ho és per als valors de x negatius −x_n.

La funció sinc normalisada posseïx una representació simple com el productorio

${\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}_N(x)=\frac{\mathrm{sen}(\pi x)}{\pi x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2})$

i es relaciona en la funció gamma Γ(x) través fòrmula de reflexió de Euler,

${\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}_N(x)=\frac{\mathrm{sen}(\pi x)}{\pi x}=\frac{1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}.$

Euler va descobrir que

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)=\frac{\mathrm{sen}(x)}{x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos \left(\frac{x}{2^n}\right).$

La transformada de Fourier de la funció sinc normalisada (a la freqüència ordinària) és rect( f ),

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{sinc}}_N(t)e^{i2\pi ft}dt=\mathrm{rect}(f),$

a on la funció rectangular és 1 per a arguments entre -Plantilla:Sfrac i Plantilla:Sfrac, i zero en cas contrari. Açò correspon al fet de que el filtre sinc és el filtre de pas baix ideal (lo que es denomina en anglés un brick-wall, és dir, un filtre electrònic idealizado, que presenta plena transmissió en la banda de pas, i atenuació completa en la banda restringida, en transicions brusques, que es coneix coloquialmente en la seua traducció lliteral com "filtre de mur de rajola").

Esta integral de Fourier, incloent el cas especial

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{sen}(\pi x)}{\pi x}dx=\mathrm{rect}(0)=1$

és una integral impròpia (segons la definició d'integral de Dirichlet), i no una integral de Lebesgue convergent, com

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left|\frac{\mathrm{sen}(\pi x)}{\pi x}\right|dx=+\mathrm{\infty }.$

De l'anterior integral de Fourier es deduïxen les expressions següents:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}_N(x)dx=1$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)dx=\pi$

La funció sinc normalisada té propietats que la fan ideal en relació en l'interpolació de funcions muestreadas en ample de banda llimitat:

• Es tracta d'una funció d'interpolació, és dir, sinc(0) = 1, i sinc(k) = 0 per a número entero k distints de zero.
• Les funcions x_k(t) = sinc(t − k) en (k sancer) formen una base ortonormal per a funcions d'ample de banda llimitat en l'espai funcional L²(R), en la freqüència angular més alta ω_H = π (és dir, la freqüència de cicle més alta f_H = Plantilla:Sfrac).

Atres propietats de les dos funcions sinc inclouen:

• La funció sinc no normalisada és la funció de Bessel esfèrica de primera classe d'orde zero, j₀(x). La funció sinc normalisada és j₀(πx).
• $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{sen}(\theta )}{\theta }d\theta =\mathrm{Si}(x)$

a on Si(x) és la funció integral senoidal.

• λ sinc(λx) (no normalisada) és una de les dos solucions linealmente independents de l'equació diferencial ordinària llineal

$x\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+2\frac{dy}{dx}+{\lambda }^{2}xy=0.$

L'atra és Plantilla:Sfrac, que no està llimitada en x = 0, a diferència de la seua contraparte, la funció sinc.

• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{sen}}^2(\theta )}{{\theta }^2}d\theta =\pi \to \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{sinc}}^2(x)dx=1,$

a on es fa referència a la funció sinc normalisada.

• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{sen}}^3(\theta )}{{\theta }^3}d\theta =\frac{3\pi }{4}$
• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{sen}}^4(\theta )}{{\theta }^4}d\theta =\frac{2\pi }{3}.$

Vore també

• Filtre antialiasing
• Filtre Sinc
• Remuestreo de Lanczos
• Fòrmula d'interpolació de Whittaker–Shannon
• Proyecció de Winkel-Tripel (cartografia)
• Integral senoidal
• Funcions trigonométricas de matrius
• Integral de Borwein
• Integral de Dirichlet